Философия математики

Также как рациональная наука претендует на особый эпистемологический статус среди прочих способов познания (художественный, паранауки, откровение, интуиция и т.д.), так и математика претендует на особый эпистемологический статус внутри рациональной науки. Вплоть до вопроса: является ли вообще математика наукой, в том же смысле, как, скажем, физика. Ведь физика, как и любая другая рациональная наука, описывает или, по крайней мере, претендует описывать реальную действительность. В то время, как при построении многих математических исчислений не только вопрос о соотношении с действительностью, но даже вопрос о принципиальном наличии действительности, которая описывалась бы этим исчислением, даже не ставится. Просто провозглашается, что существует множество объектов (не объектов действительности, а объектов данной математической теории), которые обозначаются, скажем, буквами латинского алфавита, между этими объектами существуют такие-то отношения порядка и на них установлены такие-то операции, подчиненные таким-то правилам. И далее идет дедуктивная развертка выводов теории. О действительности, о том, существуют ли в действительности объекты с такими свойствами и отношениями, от начала построения такой теории до конца нет ни слова. Таковы, например, многие разделы формальной (математической) логики.

Разница в отношении к действительности между математикой (точнее такими ее разделами, как формальная логика) и рациональной наукой, например физикой, можно дополнительно проиллюстрировать, сравнив аксиоматический подход к построению теории в формальной логике и в физике. И в том и в другом случае мы полностью абстрагируемся от всех свойств объектов, кроме тех, которые фиксруются аксиомами. Но в физическом подходе (назовем его условно так) те свойства, к которым относятся аксиомы, это свойства реальных объектов действительности, для описания которой и строится аксиоматическая теория. В формально логическом же подходе мы рассматриваем систему аксиом как логическую формулу относительно переменных предикатов, входящих в эти аксиомы. При этом возникают вопросы типа выполнимости соответствующей логической формулы, существования индивидной области для этой системы аксиом и т.п., которыми и занимаются формальная логика, ни мало не интересуясь соотношением этой формулы, предикатов, к которым она относится, и всей аксиоматической теории с какой-либо конкретной действительностью. (Под существованием индивидной области здесь понимается не нахождение конкретной области действительности, которая описывалась бы этой формулой, а принципиальная возможность существования такой области). В то время как физиков не интересует вопрос существования индивидной области, поскольку это существование наперед задано и с опытного контакта с этой индивидной областью (областью действительности) и начинается построение любой физической теории. А интересует физиков только вопрос, как будут соотноситься выводы теории с этой самой конкретной индивидной областью действительности.

Из вышесказанного на первый взгляд напрашивается вывод, что математика вообще не является наукой в том смысле, что она сама по себе не имеет отношения к действительности, не отражает реальных связей в ней, а лишь служит инструментом науки, становясь наукой лишь, когда она применяется в конкретных научных дисциплинах, типа физики. Но с другой стороны нельзя забывать, что математика начиналась с таких разделов, как арифметика и геометрия, в которых связь ее с действительностью, наличие у нее предметной (индивидной) области не вызывает сомнения. Все эти прямоугольники, треугольники, их линейные размеры и размеры их площадей изначально служили для дележа земельных участков, установления размеров налогов с них и т.п. Что еще может быть реальней и действительней? Так как же так случилось, что начав с самой, что ни на есть, кровной связи с действительностью, с землей, математика воспарила к чистой абстракции, оторвавшись, по видимости, начисто от реальности? И обладает ли она особым эпистемологическим статусом внутри рациональной науки или она все-таки связана, соотносится с действительностью в принципе также как, скажем, физика?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, нужно, прежде всего, ответить на отнюдь не тривиальный вопрос, а как связана с действительностью рациональная наука, все та же физика, например? Этот вопрос является центральным для таких областей философии, как теория познания, эпистемология, философия науки. Не простота этого вопроса связана с тем, что рациональная наука имеет свойство время от времени менять свои понятия и выводы. Так время абсолютное у Ньютона становится относительным у Эйнштейна, скорости, ранее складывавшиеся по формуле Галилея, начинают складываться по формуле Лоренца, электрон, изначально бывший просто заряженным шариком, превратился в заряженное облако, размазанное по орбите вокруг ядра, затем в пакет волн и т.д. Это привело к популярному сегодня в западной философии представлению, что понятия науки никак не связаны с опытом, а выражаются друг через друга в бесконечной регрессии [1, 2]. А научная теория – это не более чем набор правил, позволяющий получать выводы, накрывающие уже известные из опыта факты, но без какой-либо гарантии, что они будут соответствовать еще не полученным опытным данным.[3] По сути, это представление означает, что рациональная наука и ее выводы имеет такое же отношение к действительности, как древнегреческие мифы с их представлениями типа «Море волнуется, потому что Посейдон сердится». Или как, скажем, астрология, которая тоже формально (вроде бы) отталкивается от действительности (положение звезд и планет) и выводы и предсказания которой тоже иногда сбываются. (Не случайно астрология сегодня вновь добивается признания ее рациональной наукой). Ну, допустим, предсказания рациональной науки сбываются чаще, чем у астрологов. Но все равно нет никакой гарантии, что в очередной раз не произойдет облом и мы не получим в опыте или на практике результат, отличный от предсказанного. Как это, скажем, произошло в опыте Майкельсона, когда в соответствии с господствующей тогда теорией Ньютона ожидалось, что скорость света складывается со скоростью его источника, а она не захотела складываться.

Я в моей теории познания [4] и основанном на ней едином методе обоснования [5] показал, что вопреки господствующим в современной западной философии представлениям (философский релятивизм, онтологический релятивизм, пост позитивизм, с таки именами, как Куайн, Кун, Фейерабенд, Поппер, Лакатос и т.д.), понятия науки, в отличие от понятий лженауки или греческих мифов, таки привязаны к опыту. И как именно привязаны. И что, если научная теория обоснована по единому методу обоснования, то ее выводы будут гарантированно истинными при применении ее в границах ее применимости. А минимальные границы применимости теории мы можем на основе единого метода заранее знать. (Случай с опытом Майкельсона – это как раз случай применения теории (ньютоновской механики) за пределами ее применимости, а само применение за пределами применимости оказалось возможным, потому что единый метод обоснования до сих пор не представлен эксплицитно и применялся и применяется лишь на уровне стереотипа естественно научного мышления).

Теперь можно вернуться к вопросу, как научная теория, скажем физическая, связана с описываемой ею действительностью. Сам факт ее связи с действительностью, следует из того, что ее понятия, как я показал, привязаны к опыту. Но важно уточнить, как она связана. Напомню, что понятия теории привязаны к опыту, если теория выстроена и обоснована по единому методу обоснования. В противном случае эта привязка не гарантирована и, как правило, в таких случаях она нарушается. Но единый метод обоснования помимо способа определения и привязки к опыту базовых понятий теории включает в себя еще аксиоматическую развертку теории. Тут мы приближаемся к нерву проблемы вынесенной в заголовок статьи. Ведь аксиоматический метод возник внутри математики именно. Его создатель Евклид был математиком и применил его впервые в им же созданной (развитой) геометрии. Т.е. изначально этот метод был кровно связан с действительностью, с землей. Но отсюда же начался и «улет» математики (действительный или видимый) в абстракцию. Забегая наперед, скажу, что отсюда начался «улет» в абстракцию не только математики, но и всей рациональной науки. Уточним, в чем состоит этот «улет» и каким образом, несмотря на него, сохраняется связь рациональной научной теории с действительностью.

При аксиоматическом построении теории аксиомы сами служат определением, причем однозначным определением понятий, о которых они «гласят». Так в геометрии Евклида нет никаких иных определений понятий «точка», «прямая» и т.д., кроме аксиом: «Через две точки можно провести одну и только одну прямую» и т.д. Ни сам Евклид, ни школьный учитель математики не объясняют нам, что точка – это что-то такое маленькое, маленькое …Конечно, на основании жизненного опыта и употребления этого слова в языке мы связываем в воображении понятие «точка» с чем-то таким маленьким, маленьким. И даже школьный учитель, может быть, об этом что-нибудь скажет. Но при построении теории, т.е. при выводе теорем, мы нигде не пользуемся представлением о точке, как о чем-то маленьком, маленьком. Мы пользуемся только аксиомами типа «Через две точки можно провести одну и только одну прямую». В результате замены представлений об объектах действительности, основанных на чувственных восприятиях (точка это что-то такое маленькое, маленькое), формальными однозначными определениями понятий и происходит абстрагирование и «улет».

«Улет» тут состоит в том, что, когда Евклид создавал свою систему аксиом для планиметрии, или, когда мы строим аксиоматическую физическую теорию, то мы имеем в виду описать вполне конкретную область действительности с ее объектами и явлениями. Но когда теория уже построена, точнее, когда базовые понятия теории определены однозначно через систему аксиом или иным способом (есть и другие способы однозначного определения понятий, которые я описываю в упомянутых выше работах), то оказывается, что наша теория описывает не совсем ту область действительности, которую мы намеревались описать.

Вот, например, Евклид свою знаменитую систему аксиом построил для описания геометрических соотношений на плоской поверхности земли. (Неважно, представлял ли он при этом все Землю плоской или рассматривал плоские участки ее поверхности). Но если мы возьмем в отдельности аксиому, гласящую, что через две точки можно провести одну и только одну прямую, то оказывается, что эта аксиома годится не только для прямых на плоскости, но и для меридианов на сфере, и вообще для геодезических линий на любой поверхности. Потому что через две точки можно провести одну и только одну не только прямую на плоскости, но один и только один меридиан на сфере и т.д. Но при аксиоматическом построении теории о прямой нам ничего, кроме того что сказано в аксиомах, неизвестно. (Точнее мы обязаны от всего, что нам известно о прямой линии, но не содержится в аксиомах, отвлекаться). А слово «прямая» не является определением, а есть лишь ярлычок, который по договоренности мы наклеиваем на понятие, и его можно по договоренности же заменить на любой другой. Поэтому получается, что аксиома «Через две точки…» определяет не только прямые, но и любые геодезические линии на любых поверхностях. (Ну, не совсем любых, а удовлетворяющих определенным условиям, но в данном случае это не важно). Правда, нужно заметить, что в целом система аксиом Евклида не годится для сферы, потому что для сферы не выполняется 5-я аксиома о параллельных прямых. Но, тем не менее, этот пример хорошо иллюстрирует сам механизм расширения области действия теории при ее формализации. (В дальнейшем я приведу примеры, когда не отдельная аксиома, а формализованная теория в целом дает расширение области применимости по сравнению с замышляемой теорией).

Важно подчеркнуть, что это расширение области применимости теории, происходящее после ее формализации (аксиоматизации в частности), по сравнению с той областью действительности, для описания которой мы изначально создавали нашу теорию, имеет место всегда. И, во-вторых, это расширение в определенном смысле бесконечно. Не в том смысле, что формальная (аксиоматическая) теория годится для описания любой действительности. А в том, что, когда Евклид вводил аксиому «Через две точки..», то он не знал, что она окажется применимой не только к прямым, но и к геодезическим кривым, но и мы, зная про геодезические кривые, не знаем, к чему еще эта аксиома может оказаться применимой. И полностью этого никогда не будем знать. Именно отсюда вытекает интерес в формальной логике, аксиоматике и других подобных направлениях математики изучать системы аксиом и прочие формальные исчисления в отрыве от действительности, которую они описывают или могут описывать. В том числе и выяснять вопрос, может ли та или иная система аксиом (или иное формальное исчисление) иметь индивидную область, т.е. в принципе описывать какую-либо область действительности.

Важно еще отметить, что формально (например, аксиоматически) выстроенная теория с однозначно определенными понятиями не только обязательно расширяет область действительности, для описания которой она изначально создавалась, но может и, как правило, одновременно и сужает ее. Как (в каком смысле) может происходить одновременно расширение области применения и ее сужение, поясню сначала на примере.

Возьмем волновую теорию света. (То, что она уже отжила свое, в данном случае неважно). Она создавалась для описания всех явлений, связанных со светом. Но оказалось, что в ее формальном представлении она с одной стороны описывает электромагнитные волны любых частот (а не только световые). И на самом деле не только электромагнитные, но и не известных нам пока волновых процессов иной природы. Но с другой стороны, она не описывает явлений связанных со светом, но ухваченных другой, корпускулярной теорией света. Хотя создавалась она для описания всех явлений, связанных со светом.

Более общо и формально это одновременное расширение и сужение области применения научной теории можно описать в терминах теории множеств. Множества объектов исходной («сырой») и формализованной теорий оказываются пересекающимися, т.е. имеют некоторую общую часть и еще каждая свою. Причем та часть множества объектов формализованной теории, которая не пересекается с множеством исходной, является, в принципе, бесконечной и точных ее границ мы принципиально не можем знать. Но с точки зрения гарантированной истинности применения теории это неважно. Потому что применяем мы теорию всегда в области пресечения упомянутых множеств. Эта область может расширяться по нашему желанию и интересу. Скажем, если мы захотим применять волновую теорию не только к явлениям, связанным со светом, но вообще к электромагнитным явлениям. Но она никогда не станет бесконечной (в рассматриваемом смысле). Причем граница этой области пересечения состоит из двух участков, один из которых принадлежит множеству объектов исходной теории, а второй - множеству объектов формальной теории. Тот, который принадлежит исходной теории, нам всегда известен. (Понятно, что если мы создаем теорию для описания световых явлений, то не станем ее применять для описания, скажем, движения твердых тел). А вот, что касается того участка границы области пресечения множеств, который принадлежит формализованной теории, то из-за незнания этой границы как раз и происходили и происходят ошибки применения теории и парадоксы, типа описанного в истории с опытом Майкельсона. Единый же метод обоснования, как я уже сказал, позволяет нам знать и эту границу (участок границы).

Резюмируя, можно сказать, что рациональная наука начинается с чувственного восприятия действительности (непосредственного или через приборы). Затем строится теория, которая должна быть обоснована по единому методу обоснования. Это значит, прежде всего, что определения ее понятий должны быть однозначными. Без этого наука превращается в бесконечный разговор о том, о чем мы, собственно, говорим. (Что мы и наблюдаем часто в гуманитарной сфере, особенно в философии). Однозначной должна быть и привязка понятий к опыту. (Как это делается описано в упомянутой книге по единому методу обоснования). А для того, чтобы однозначность понятий сохранялась по ходу развертки теории, т.е. получения выводов, развертка должна быть в идеале аксиоматической. Ибо, как показано в упомянутой книге, только аксиоматическая развертка гарантирует сохранение однозначности понятий и их исходного смысла. (Что при любом другом способе построения теории отнюдь не гарантировано). Наконец, когда теория выстроена, нужно заново уточнить, к какой именно действительности она относится, т.е. уточнить границы ее применимости. Часто при этом получается, что исходно интересующая нас область действительности разбивается на части, одна из которых описывается одной формальной (аксиоматической в частности) теорией, а другая другой. (Волновая и корпускулярная теории, описывающие разные явления из области действительности, именуемой «свет»). При этом каждая из этих формальных теорий помимо явлений из интересующей нас области действительности, описывает и явления из других областей, которыми мы в данном случае не интересовались или даже не подозревали об их существовании. Затем возможно построение новой теории, которая будет охватывать все явления интересующей нас области действительности или часть большую, чем охватывала каждая из предыдущих теорий в отдельности. (Например, квантовая теория, которая охватила и волновые и корпускулярные проявления света). Область применения этой новой теории также не будет ограничиваться только исходно интересующей нас областью действительности (скажем, светом). Она также будет потенциально бесконечной и мы не будем знать ее дальних границ.

Что касается математики, то она отличается от рациональной науки типа физика тем, что ее исчисления могут иметь область действительности, которую они описывают (индивидную область), а могут не иметь ее вовсе. В том случае, когда математическое исчисление не имеет индивидной области, оно, безусловно, не является наукой, рациональной наукой, осуществляющей познание действительности, типа физики, и с точки зрения познания действительности не представляет интереса. Именно поэтому одной из задач формальной логики и аксиоматики является определение принципиального наличия индивидной области у формального исчисления. (В частности для этой цели Гильберт развил финитный метод).

Если исчисление имеет (в принципе) индивидную область, то возможны два случая: нам уже известна часть этой области (как это имеет место в случае с арифметикой и геометрией с их многочисленными применениями к действительности) и нам эта область на сегодня совершенно неизвестна. В первом случае математическая теория в смысле ее соотношения с действительностью ничем не отличается от любой рациональной научной теории. Во втором случае она отличается от физической теории только тем, что мы пока что не знаем, где эта теория может применяться для познания действительности. Это своего рода заготовка для возможной рациональной научной теории. Создание таких заготовок оправдано тем, что при построении математических теорий, которые изначально строятся для применения к конкретной действительности, мы часто получаем, если можно так выразиться, особенно широкое расширение этой области. Хороший тому пример дает исчисление бесконечно малых, созданное Ньютоном (и независимо от него Лейбницем) для нужд создаваемой Ньютоном же механики. Сегодня трудно найти область естественных и точных наук, в которой бы это исчисление не применялось. Там и сям оно проникло даже в сферу гуманитарных наук.

Литература:
1. Quine W.V. O. Ontological Relativity // The Journal of Philosophy.1968, Vol.LXV, №7. P. 185-212

2. Lacatos Imre Mathematics, Science and Epistemology. Cambridge: University Press. 1978, P. 3-23

3. Лакатос И. "Бесконечный регресс и основания математики". По "Современной философии науки". Печенкин А. М. "Логос", 1996, С. 106-136

4. Нерационализм, Киев, 1992, часть 1
5. Единый метод обоснования научных теорий, Алетейя, СПб, 2012