Задача: «построить восемь равновеликих треугольников с помощью циркуля и линейки, проведя десять линий, шесть окружностей и изменяя раствор циркуля три раза». Теперь разъясню её смысл. Как многие подобные задачи, она решается только карандашом, линейкой без цифр, штрихов или зазубринок и циркулем без градуировки.
Цель задачи – построить не менее восьми равновеликих треугольников – у них должна быть одинаковая площадь; они могут быть как отдельно стоящие, так и иметь общие стороны. Разрешается проводить не более десяти линий по линейке (отрезки тоже считать линиями), не более шести окружностей циркулем (дуги также считать окружностями; измерять циркулем и ставить точки нельзя, надо провести дугу, которая считается окружностью), не более трёх раз менять раствор циркуля (вначале раствор равен нулю; его можно выставлять по уже найденным отрезкам), одним карандашом без использования инструментов можно только ставить точки (неограниченное количество). Итак, нужно нарисовать восемь треугольников с одинаковой площадью, пользуясь линейкой десять раз, пользуясь циркулем шесть раз, и меняя его радиус три раза (при построении первой окружности считается, что радиус изменился). Для того, чтобы доказать, что вы действительно решили задачу, не нарушив её условия, вы должны написать полный перечень всех действий по пунктам. Например (только например): «1– выбрать на плоскости точку ‘А’; 2 – провести через неё прямую ‘а’; 3 – выбрать раствор циркуля и провести окружность с центром в точке ‘А’; 4 – отметить точки пересечения окружности с прямой ‘а’, как ‘В’ и ‘С’; 5 –… и.т.д.» . У меня в официальном ответе к задаче таких действий 23. Если вы решите задачу, так и не израсходовав все возможности (10/6/3), то это вообще замечательно! (потом мне решение обязательно скажите).
Обсуждения Задача о треугольниках
По существу Ваше решение совпадает с моим вторым вариантом, где на 8 частей делится треугольник. Другое дело, что часть действий излишни. Например, в Вашем пункте 7 окружность не обязательно брать большего радиуса. Можно и меньшего. А еще лучше того же самого, тогда не нужно лишний раз менять раствор циркуля.
А в общем, спасибо за интересную задачу! Я тоже предлагал на сайте немало задач. Так что если за 5 лет у Вас не пропал к ним интерес, то можете взглянуть на мои статьи "Логика и ее отсутствие", "Еще раз о логике" (раздел "Философия", 11.11.2013, 15.11.2013). Может быть, Вы тоже найдете новые оригинальные решения. А некоторые задачи так и остаются нерешенными. С уважением Николай
Хм.
Кажется, всё верно...
В обоих ваших решениях.
Противоречий не вижу: условия соблюдены, цель выполнена, ресурсы не превышены. Следовательно, вы засчитываетесь победителем!
Получается, что моё решение не было оптимальным:
1) Отметить на плоскости точку 'А'.
2) Провести окружность произвольным радиусом с центром в точке 'А'.
3) Отметить на окружность точку 'В'.
4) Провести прямую '(АВ)'.
5) Провести окружность тем же радиусом с центром в точке 'В'.
6) Отметить точку 'С' на пересечении новой окружности с прямой '(АВ)'.
7) Провести окружность большего радиуса с центром в точке 'А'.
8) Отметить на окружности точку 'D', не лежащую на прямой '(АС)'.
9) Провести прямую '(AD)'.
10) Провести окружность тем же радиусом с центром в точке 'D'.
11) Отметить точку 'Е'на пересечении новой окружности с прямой '(AD)'.
12) Провести прямую '(ЕС)'.
13) Построить окружность с центром в точке 'Е' с радиусом '[ЕС]'.
14) Построить окружность с тем же радиусом с центром в точке 'С'.
15) Обозначить точки пересечения этих окружностей, как 'F' и 'G'.
16) Провести прямую '(FG)'.
17) Обозначить точку пересечения прямых '(EC)' и '(FG)' как 'H'.
18) Соединить прямой точки 'H' и 'B'.
19) Соединить прямой точки 'B' и 'D'.
20) Соединить прямой точки 'D' и 'H'.
21) Соединить прямой точки 'A' и 'H'.
22) Провести отрезок из точки 'С' к точке 'D' до пересечения с прямой '(НВ)'.
23) Провести отрезок из точки 'Е' к точке 'В' до пересечения с прямой '(HD)'.
Теперь треугольник 'ECA' разделён на восемь равновеликих треугольников.
Что ж, благодарю за интерес к задаче!
> случайно натолкнулся на "Задачу о треугольниках" от 2009г.
О, какое же это старьё...
> Например, можно тривиально построить ромб и разделить его на 8 треугольников, воспользовавшись линейкой всего 8 раз.
Хорошо, давайте.
Ответ должен быть в виде чёткого алгоритма, из которого следует, что получено нужное количество треугольников без превышения допустимого числа разрешённых действий по категориям.
1. Берем на плоскости любую точку A и проводим через нее две прямые линии.
2. На одной из этих прямых произвольно засекаем точку B. Настраиваем циркуль на длину AB и с центром в точке A проводим дугу, чтобы получить точку C на второй прямой. Так что AB=AC.
3. С тем же раствором циркуля проводим еще две окружности с центрами в точках B и C. Это позволит нам получить точку D (это будет вторая вершина ромба) на линии AB, так что AB=BD, и точку E (это будет третья вершина ромба) на линии AC, так что AC=CE. (В последующем отрезки AD и AE послужат сторонами ромба, а точки B и C будут серединами этих сторон.)
4. Теперь раствор циркуля увеличиваем вдвое согласно длине отрезка AD и проводим две окружности в точках D и E. Эти две новые окружности пересекаются в двух точках. Одна из них - начальная A. Другую обозначим: F.
5. Проведем отрезки DF и EF. Получился ромб ADFE.
6. Проводим диагонали ромба. Их пересечение обозначим: H.
7. И наконец, еще две линии: через точки B, H и через точки C, H.
Всего: 8 линий, 5 окружностей, циркуль настраивался 2 раза.
Не совсем ясно, что считать действием. Но я насчитал 19.
Есть еще вариант: с разрезанием треугольника. Точки A, B, C, D, E строятся точно так же. Затем проводим DE (это третья сторона большого треугольника), DC и EB (это медианы). По точке пересечения двух медиан проводим третью медиану, ее пересечение с DE обозначим F. Проводим BC, BF, CF. И там нетрудно насобирать 8 треугольников. Правда, некоторые из них перечеркнуты лишними линиями. Но их можно было бы не проводить полностью. Кроме того, в условии задачи не требуется внутренняя чистота треугольников. Вроде не запрещается и стирать лишнее. Здесь всего: 9 линий, 3 окружности, циркуль настраивался 1 раз. Если по сумме показателей (9+3+1=13), то это даже лучше, чем выше (8+5+2=15). А что, собственно, надо считать лучшим достижением? Николай
Правда, я не понял, в чем тут соль и к чему такие вычурные требования. Например, можно тривиально построить ромб и разделить его на 8 треугольников, воспользовавшись линейкой всего 8 раз. Вы же пользуетесь 10 раз. В чем тогда рекордность или примечательность Вашего построения? Николай