Как всё же древние греки
доказывали иррациональность числа √2 ?
доказывали иррациональность числа √2 ?
Действительно, как ? И вот что можно у них увидеть.
Они, примерно, вещали так: " Предположим существует рациональное число m/n, такое, что m/n=√2.
Дробь m/n будем считать несократимой (ведь сократимую дробь всегда можно привести к несократимому виду). Возведя обе части равенства в квадрат, получим m^2=2n^2. Отсюда заключаем, что m^2, а следом за этим и число m - чётное. т.е. m = 2k. Поэтому m^2 = 4k^2 и, следовательно, 4k^2 =2n^2, или 2k^2 = n^2. Но тогда получается, что и n также чётное число, а этого быть не может, поскольку дробь m/n несократима. Возникает противоречие. Остаётся сделать вывод: наше предположение неверно и рационального числа m/n, равного √2, не существует.»
Вот и всё их доказательство.
Но…. посмотрим на такое доказательство древних греков несколько критично. И если быть более аккуратным в простой математике, то в нём можно увидеть следующее:
1) В принятом у греков рациональном числе m/n числа m и n – целые, но неизвестные (то ли они чётные, то ли они нечётные). И это так! А чтобы как-то установить между ними какую-либо зависимость, надо точно определиться с их назначением ;
2) Когда древние определились с тем, что число m – чётное, то в принятом ими равенстве m = 2k они (умышленно или по незнанию!) не совсем «корректно» охарактеризовали число «k». А ведь здесь число k – это целое (ЦЕЛОЕ !) и вполне известное число, вполне чётко определяющее найденное чётное число m. И не будь этого найденного числа «k» древние не могли бы в дальнейшем «использовать» и число m ;
3) А когда из равенства 2k^2 = n^2 древние получили число n^2 чётное, а вместе с тем и n – чётное, то им надо было бы не спешить с выводом о «возникшем противоречии», а лучше удостовериться в предельной точности принятого ими «выбора» числа «n».
А как это можно было им сделать? Да, просто!
Смотрите: из полученного ими равенства 2k^2 = n^2 можно было элементарно получить и такое равенство k√2 = n . И здесь никак нет ничего предосудительного – ведь получили же они из равенства m/n=√2 другое адекватное ему равенство m^2=2n^2 ! И никто им не перечил!
Но зато в новом равенстве k√2 = n при очевидных ЦЕЛЫХ числах k и n видно, что из него всегда получают число √2 - рациональное. Всегда! Поскольку в нём числа k и n - известные ЦЕЛЫЕ!
А вот чтобы из их равенства 2k^2 = n^2 и, как следствие этого, из k√2 = n получить число √2 – иррациональное (как того «пожелали» древние греки!), то в них необходимо иметь, как минимум, число «k» в виде нецелого(!!!) числа. А этого у древних греков как раз и НЕТ!
Отсюда и ВЫВОД : вышеприведённое доказательство иррациональности числа √2, сделанное древними греками 2400 лет тому назад, откровенно неверное и математически некорректно, если не сказать грубо – оно просто фальшивое.
В показанной выше небольшой брошюрке Ф-6 (см. фото выше), выпущенной в г. Краснодар (Россия) в 2015 году общим тиражом 15000 экз. (очевидно, со спонсорским вложением) приведено новое, предельно-корректное с точки зрения математики и предельно-верное ]доказательство иррациональности числа √2, которое давно могло бы состояться, не будь жёстких "препон" к изучению древностей Истории.
Вот и всё их доказательство.
Критическая оценка доказательства древних греков
Но…. посмотрим на такое доказательство древних греков несколько критично. И если быть более аккуратным в простой математике, то в нём можно увидеть следующее:
1) В принятом у греков рациональном числе m/n числа m и n – целые, но неизвестные (то ли они чётные, то ли они нечётные). И это так! А чтобы как-то установить между ними какую-либо зависимость, надо точно определиться с их назначением ;
2) Когда древние определились с тем, что число m – чётное, то в принятом ими равенстве m = 2k они (умышленно или по незнанию!) не совсем «корректно» охарактеризовали число «k». А ведь здесь число k – это целое (ЦЕЛОЕ !) и вполне известное число, вполне чётко определяющее найденное чётное число m. И не будь этого найденного числа «k» древние не могли бы в дальнейшем «использовать» и число m ;
3) А когда из равенства 2k^2 = n^2 древние получили число n^2 чётное, а вместе с тем и n – чётное, то им надо было бы не спешить с выводом о «возникшем противоречии», а лучше удостовериться в предельной точности принятого ими «выбора» числа «n».
А как это можно было им сделать? Да, просто!
Смотрите: из полученного ими равенства 2k^2 = n^2 можно было элементарно получить и такое равенство k√2 = n . И здесь никак нет ничего предосудительного – ведь получили же они из равенства m/n=√2 другое адекватное ему равенство m^2=2n^2 ! И никто им не перечил!
Но зато в новом равенстве k√2 = n при очевидных ЦЕЛЫХ числах k и n видно, что из него всегда получают число √2 - рациональное. Всегда! Поскольку в нём числа k и n - известные ЦЕЛЫЕ!
А вот чтобы из их равенства 2k^2 = n^2 и, как следствие этого, из k√2 = n получить число √2 – иррациональное (как того «пожелали» древние греки!), то в них необходимо иметь, как минимум, число «k» в виде нецелого(!!!) числа. А этого у древних греков как раз и НЕТ!
Отсюда и ВЫВОД : вышеприведённое доказательство иррациональности числа √2, сделанное древними греками 2400 лет тому назад, откровенно неверное и математически некорректно, если не сказать грубо – оно просто фальшивое.
В показанной выше небольшой брошюрке Ф-6 (см. фото выше), выпущенной в г. Краснодар (Россия) в 2015 году общим тиражом 15000 экз. (очевидно, со спонсорским вложением) приведено новое, предельно-корректное с точки зрения математики и предельно-верное ]доказательство иррациональности числа √2, которое давно могло бы состояться, не будь жёстких "препон" к изучению древностей Истории.
Авторская публикация. Свидетельство о публикации в СМИ № J108-40612.
Обсуждения Иррациональности числа √2 доказана предельно-точно
На ваш вопрос « ... не знаю, почему Вы так заинтересовались этим числом k.
Это лишь удобная современная форма записи ...» нам отвечать нет никакой необходимости, и только потому, что так написано в математике (если вы что-то в ней читали по этому вопросу). Однако, следом, уходя от рассмотренного в статье вопроса (в том числе и о пресловутом «k») Вы без всякого на то основания переходите к другому, но уже «своему», методу доказательства иррациональности числа корень из 2 , написав: «доказательство в переводе на русский язык вполне могло выглядеть следующим образом без всяких k и вообще дополнительных величин ...».
А то, что мы показали в своей статье совершенно дикую математическую «оплошность» и древних греков, и, соответственно, современных «крупнейших» математиков мира, в том числе и российских, которые учат детей азам математики, вы так и не заметили, посчитали «там слово не то, а там буква не та, и прочее, прочее» - в целом - да это «кухонная математика!».
Однако, что касается «кухонного языка» в нашей статье, в чём вы пытаетесь обвинить авторов, то все претензии по этому поводу переносим к авторам Российской энциклопедии - «ЭНЦИКЛОПЕДИЯ для ДЕТЕЙ. Т 11. Математика », издательство «Аванта +», 2002, - 688 с. - , в которой Вы, вполне возможно, и участвовали в написании для детей «определённой галиматьи». И это достаточно хорошо подтверждают ваши философские потуги с «переодеванием человека» вместо того чтобы честно признать не «свою», а чужую маленькую математическую победу в Истории математики.
А вот мы, как авторы статьи, с огромной радостью похлопали бы Вам за подобную «победу» ! Но увы... вам не дано было её достигнуть! Как оказалось - это не «Ваш день»!
С уважением к Вам, авторы статьи.
Это лишь удобная современная форма записи. В древности не было алгебраической символики, и все излагалось разговорным языком.
Сейчас трудно установить, какие слова были в древности. Но доказательство в переводе на русский язык вполне могло выглядеть следующим образом без всяких k и вообще дополнительных величин.
Предположим, что корень из 2 равен отношению двух натуральных чисел. (Не обязательно даже считать дробь несократимой.) После возведения в квадрат получим, что квадрат первого числа равен удвоенному квадрату второго. Тогда с одной стороны при разложении на сомножители получится четная степень двойки, а с другой - нечетная. "Возникает противоречие. Вот и все доказательство."
Вы же "несколько критично" в своей статье смотрите не на доказательство древних греков, а на современную алгебраическую трактовку. Но и к последней Ваши претензии безосновательны и антинаучны. Хотя Вы взываете к предельной точности, но сами излагаете кухонным языком, из которого даже невозможно понять, что Вы утверждаете (кроме того, что Вы правы, а греки якобы нет), не говоря уже о намеках хоть на какую-нибудь последовательность выводов.
Список Ваших просчетов будет длиннее Вашей статьи. Я не буду расписывать их все, потому что Вы имеете плохую привычку удалять чужие комментарии вместо того, чтобы поучиться на них. В результате после прежних Ваших тотально безграмотных заходов Вы сейчас не выдали ничего лучшего.
Но пару ключевых, на мой взгляд, моментов разберу. У Вас написано, что корень из 2
"рациональное. Всегда! Поскольку в нем числа k и n - известные ЦЕЛЫЕ!"
Что значит "всегда"? Вы вывели равенство с k из исходного допущения о представлении корня из 2 в виде m/n. А это вовсе не всегда, а только в рамках греческого построения. Вы всего лишь переписали исходное допущение (которое не обязано совпадать с реальностью) в эквивалентном виде, но почему-то оно выросло у Вас до размеров абсолютной истины: "Всегда!"
С таким же успехом, предположив существование людей на Луне (что в общем не возбраняется в рамках гипотез, сказок, мифов), Вы могли вывести, что люди там существуют всегда.
Потом, надо различать, что "древние греки пожелали" получить иррациональность как итоговый результат. А в процессе работы у них возникали и другие желания, которые совсем не обязаны совпадать с конечным результатом.
Например, человек, переодеваясь, на некоторое время может вообще остаться голым, но это ничуть не противоречит тому, что в итоге он хочет оказаться одетым. А по Вашей логике выходит, что противоречит, и переодевающийся поступает "откровенно неверно, некорректно, грубо, фальшиво".