На сегодняшний день не существует достаточно корректного и надежного определения самого понятия «свободная воля». В последнее время вопросом о наличии свободы воли у живых существ заинтересовались наконец не только философы, но и экспериментаторы.
Результаты этих экспериментов (над мухами и людьми) не дают убедительного ответа на поставленный вопрос. На мой взгляд, одна из причин этого — в том, что с самим определением понятия «свободная воля» имеются некоторые проблемы. Но об этом я подробнее скажу ниже.
Известный ученый Стивен Хокинг не так давно писал: «Конечно, можно утверждать, что свободная воля все равно иллюзия. Если действительно существует всеобъемлющая физическая теория, которая управляет всем сущим, то следует полагать, что она детерминирует и наши действия. Однако она делает это так, что ее следствия невозможно предвычислить для такого сложного организма, как человеческое существо, и, кроме того, она включает определенный элемент случайности, соответствующий квантово-механическим эффектам. Это позволяет говорить, что наши декларации о свободной воле человека проистекают из невозможности предсказать, что он будет делать».
А вот что пишет по поводу свободы воли академик Б.Б. Кадомцев: «Под свободой воли мы будем понимать здесь свободу действий, или свободный выбор между двумя или несколькими альтернативами. Принято считать, что человек, безусловно, обладает свободой воли, будучи свободным в своих поступках. Разумеется, человеку часто приходится совершать вынужденные поступки под давлением внешних обстоятельств, однако и в этом случае последний выбор остается за ним.
Не факт, что абсолютно все примут данное утверждение за истину. Следуя, например, Шопенгауэру, можно было бы утверждать, что человек анализирует только хотения, а самый последний момент принятия решения может выпадать из-под его контроля.
Однако мы будем оставаться на более наивной точке зрения, полагая, что человек свободен в своих поступках и потому ответствен за них. Но, принимая свободу действий для человека, мы не должны обижать и животный мир. Но никак нельзя принять допущение, что свобода действий появляется скачком на некотором уровне развития: даже у самых примитивных представителей животного мира сохраняется свобода действий. Более того, очень трудно представить рубеж появления свободы воли на границе между неодушевленным миром и жизнью».
Невозможно не согласиться с тем, что, по крайней мере, люди обладают свободой воли и поэтому должны отвечать за свои поступки. Однако аргументация Хокинга дает представление о том, насколько трудно доказать это, казалось бы, очевидное утверждение.
Кадомцев определяет свободу воли как свободу выбора, но не объясняет, что такое свобода выбора. (Выбор, предопределенный генетически или обусловленный воспитанием, или являющийся следствием квантово-механической случайности, — свободен?)
А вот еще одно известное определение: «Свобода воли — это способность самостоятельно определять свои действия». Непонятно только, что значит «самостоятельно». (Действия, предопределенные генетически или обусловленные внушением или случайностью, — самостоятельны? Действия ребенка, копирующего взрослых, — самостоятельны?)
Вообще такого рода явные словесные определения свободы воли — привлекательные на первый взгляд — сильно напоминают порочный круг. Намного более надежным могло бы быть определение обсуждаемого понятия через устойчивый, повторяющийся контекст.
Поясню свою мысль на примере определения понятия «дуэль на пистолетах». Онегин и Ленский стреляются, Пушкин и Дантес стреляются, Лермонтов и Мартынов стреляются… Это — дуэль на пистолетах.
Парадокс заключается в том, что для «свободы воли» мы, вообще говоря, не располагаем подобным устойчивым, повторяющимся контекстом. Именно те действия, которые мы склонны приписывать нашей свободе воли, глубоко индивидуальны, их мотивы непроверяемы…
И все же в некоторой достаточно узкой области (а именно — в математике) такой контекст удается обнаружить. Дело в том, что одно из вполне надежных мыслительных средств, которыми пользуются математики, прямо опирается на существование свободной воли.
Это средство — ОПЕРАТОР СВОБОДНОГО ВЫБОРА (не путать с аксиомой выбора), действие которого определяется словами:
«пусть x — произвольно взятый элемент множества X». (*)
(Вместо термина «произвольно взятый» употребляются также его синонимы: «некоторый произвольный», «любой», «какой-либо», «какой-нибудь».)
Приведем пример использования оператора (*) при доказательстве одной из школьных теорем.
Теорема. Площадь каждого треугольника равна половине произведения его основания на высоту. (Точнее: численное значение площади каждого треугольника равно половине произведения численного значения длины его основания на численное значение длины опущенной на это основание высоты.)
Доказательство. Рассмотрим произвольно взятый треугольник; обозначим его АВС. Далее, применяя общеизвестные построения и вычисления, докажем утверждение теоремы применительно к треугольнику АВС. Так как треугольник АВС был выбран произвольным образом, заключаем, что площадь каждого треугольника определяется по такой же формуле. Теорема доказана.
Замечание. Покажем, что «произвольный выбор» заменить на «случайный выбор» в доказательстве нельзя. Действительно, попробуем провести доказательство так: пусть АВС — некоторый случайным образом выбранный треугольник. Проведя для треугольника АВС соответствующие построения и вычисления, докажем для этого треугольника требуемую формулу. Так как треугольник АВС был выбран нами случайно (а не произвольно), то… закончить доказательство не удается. Из того, что для некоторого случайно выбранного треугольника верна какая-то формула, еще не следует, что эта формула верна для всех треугольников.
Мы видим, что комбинация слов «произвольно взятый элемент» обладает замечательной способностью фокусировать нас на одном-единственном объекте так, что результат наших рассмотрений оказывается приложим ко всем объектам сразу!
Приведем другой характерный пример применения оператора свободного выбора — на этот раз из математической физики. Рассуждение, взятое из книги Рихарда Куранта, приводится в сокращенном пересказе, с тем чтобы подчеркнуть применение оператора свободного выбора.
Итак, требуется установить, что некоторая функция U(Q), заданная на внутренности шара, при стремлении точки Q к границе шара стремится к заданным граничным значениям. Доказательство ведется следующим образом. Пусть P — произвольная точка на границе шара, Q — произвольная точка внутри шара. Доказываем, опираясь на геометрические соображения, что U(Q) сколь угодно мало отличается от граничного значения в точке P, если Q достаточно близка к P. Затем Курант сразу заключает: «Это завершает доказательство», опуская, как чересчур очевидное, соображение «так как точка P на границе шара была выбрана произвольно».
Замечание. Слова «так как элемент x был выбран произвольным образом, то проведенное рассуждение справедливо для всех x» представляют собой, по сути, вторую часть оператора (*) и должны завершать доказательство, начинающееся с применения оператора (*). В неформализованных (то есть не пользующихся языком формальной логики) математических текстах это соображение, как правило, опускается. В разделе логики, именуемом теория предикатов, упомянутое логическое действие называется правилом обобщения.
Зададим теперь себе вопрос: чья же свободная воля имеется в виду в каком-либо математическом тексте, использующем оператор (*)? Очевидно, что, поскольку математический текст призван убедить читателя в справедливости того или иного вывода, то имеется в виду именно свободная воля читателя. Иными словами, тысячи математиков, пишущих тексты, где явно или неявно используется оператор (*), предполагают наличие свободной воли у всех, кому они адресуют свои труды.
Итак, понятие «свободная воля» — один из инструментов значительной части математики (в частности — математического анализа, теории дифференциальных и интегральных уравнений), а также математической физики. С помощью этого понятия получена масса результатов, допускающих физическую проверку и выдержавших ее. Если свободная воля — иллюзия, то как объяснить предсказательную силу этих математических работ?
P.S. Еще одна идея заключается в том, что механизм, запрограммированный так, что термин «произвольный» воспринимается им как «случайный», легко отличим от человека (частный случай задачи, восходящей к Алану Тьюрингу). В качестве теста предлагается задача:
«Имеется последовательность из нулей и единиц. Первый член последовательности 1. Если для некоторого произвольно взятого номера n соответствующий член последовательности равен 1, то следующий за ним также равен 1. Верно ли, что вся последовательность состоит из единиц?»
Андроид (который понимает «произвольный» как «случайный») говорит: «Это утверждение недоказуемо».(Еще он может сказать, что в каждом из множества миров в этой последовательности будет свое количество единиц.)
Человек говорит: «Очевидно, верно».
P.P.S. Вариант теста. «На числовой оси задана функция f. Для произвольно взятого x доказано, что f(x)=1. Верно ли, что f(0)=1?»
Андроид (который понимает «произвольный» как «случайный») говорит: «Это, вообще говоря, неверно».
Человек говорит: «Очевидно, верно».
Замечание. То, что андроид будет прочитывать термин «произвольный» как «случайный», вовсе не обязательно. Это зависит от вложенного в него алгоритма. Однако такой способ запрограммировать андроида представляется мне наиболее естественным. Это, конечно, сужает область рассмотрения. Если посмотреть на проблему более широко, то можно предположить, что в результате саморазвития алгоритма мы обнаружим, что устройство реагирует на термин «произвольный» так же, как и люди. В этом случае я бы предложил считать устройство живым и ответственным за свои поступки.
О понятии «переменная величина»
Еще Диофант (III век) при решении уравнений использовал буквы для обозначения неизвестных, однако развитая система буквенных обозначений для нужд алгебры сформировалась гораздо позднее, после работ Виета (конец XVI века), применившего буквенную символику и для обозначения известных величин — коэффициентов рассматриваемых уравнений.
В дальнейшем, после работ Декарта, Ньютона, Лейбница, в математику прочно вошло понятие переменной, которую также стали обозначать при помощи букв. В сущности, без понятия переменной величины (как и без понятия числа) в наше время математика немыслима.
В современной математической логике понятие переменной фактически вытеснило понятие неизвестного.
Например, уравнение
х + 3 = 5 (1)
рассматривается как одноместный предикат, то есть выражение, зависящее от переменной х и превращающееся в высказывание (ложное или истинное) при подстановке вместо х какого-либо числового значения этой переменной. Что касается решения уравнения (1), то оно рассматривается как элемент множества истинности соответствующего предиката (то есть множества всех тех х, при которых предикат (1) превращается в истинное высказывание). В нашем случае, очевидно, упомянутое множество истинности состоит из единственного числа 2.
Такая точка зрения на уравнения позволяет избавиться от «лишнего» понятия неизвестное и унифицировать изложение материала, относящегося к теме «предикаты». Однако, математики, работающие не в сфере чистой логики, решая уравнения, обычно предпочитают иметь дело с неизвестным х, а не с переменной х.
С чисто математической точки зрения оба подхода эквивалентны, но с точки зрения педагога разница между ними существенна.
Дело в том, что понятие «неизвестное» гораздо проще , чем понятие «переменная» (на что обычно не обращают внимания). Недаром понятие «переменная» вошло в математический обиход спустя более тысячи лет после понятия «неизвестное»!
Если х — неизвестное решение какого-то уравнения (о котором мы знаем, что у него имеется одно-единственное решение), то х — это имя индивидуального объекта.
Если мы имеем дело с уравнением, у которого несколько решений, то и здесь можно временно сосредоточиться на каком-то одном из решений, попрежнему считая, что х — это имя индивидуального объекта.
Если же х — переменная, то:
х — это не имя индивидуального объекта;
х — это не имя совокупности объектов;
х — это не имя какого-либо известного физического процесса.
Если, допустим, переменная х — это точка, пробегающая сферу, и мы спросим у двух разных математиков, где, по их мнению, расположена эта точка в данный момент времени и куда она движется, то мы получим, скорее всего, разные ответы.
Но тогда что же представляет собой переменная х? На мой взгляд, ответ на этот вопрос таков:
х — это переменная точка, то есть свободно выбираемый элемент из некоторого множества Х.
Таким образом, само понятие «переменная» не является, как мы видим, «первичным», а определяется через (беспрерывно возобновляемую) процедуру свободного выбора.
Итак, свободный выбор обнаружился — хотя и в скрытом виде — среди базовых, неустранимых понятий современной математики (и, в частности, математической логики). Так что свободная воля, видимо, — не иллюзия.
Могут ли эти «околоматематические» соображения как-то помочь отыскать механизм человеческого мозга, отвечающий за реализацию свободного выбора?
Известный ученый Стивен Хокинг не так давно писал: «Конечно, можно утверждать, что свободная воля все равно иллюзия. Если действительно существует всеобъемлющая физическая теория, которая управляет всем сущим, то следует полагать, что она детерминирует и наши действия. Однако она делает это так, что ее следствия невозможно предвычислить для такого сложного организма, как человеческое существо, и, кроме того, она включает определенный элемент случайности, соответствующий квантово-механическим эффектам. Это позволяет говорить, что наши декларации о свободной воле человека проистекают из невозможности предсказать, что он будет делать».
А вот что пишет по поводу свободы воли академик Б.Б. Кадомцев: «Под свободой воли мы будем понимать здесь свободу действий, или свободный выбор между двумя или несколькими альтернативами. Принято считать, что человек, безусловно, обладает свободой воли, будучи свободным в своих поступках. Разумеется, человеку часто приходится совершать вынужденные поступки под давлением внешних обстоятельств, однако и в этом случае последний выбор остается за ним.
Не факт, что абсолютно все примут данное утверждение за истину. Следуя, например, Шопенгауэру, можно было бы утверждать, что человек анализирует только хотения, а самый последний момент принятия решения может выпадать из-под его контроля.
Однако мы будем оставаться на более наивной точке зрения, полагая, что человек свободен в своих поступках и потому ответствен за них. Но, принимая свободу действий для человека, мы не должны обижать и животный мир. Но никак нельзя принять допущение, что свобода действий появляется скачком на некотором уровне развития: даже у самых примитивных представителей животного мира сохраняется свобода действий. Более того, очень трудно представить рубеж появления свободы воли на границе между неодушевленным миром и жизнью».
Невозможно не согласиться с тем, что, по крайней мере, люди обладают свободой воли и поэтому должны отвечать за свои поступки. Однако аргументация Хокинга дает представление о том, насколько трудно доказать это, казалось бы, очевидное утверждение.
Кадомцев определяет свободу воли как свободу выбора, но не объясняет, что такое свобода выбора. (Выбор, предопределенный генетически или обусловленный воспитанием, или являющийся следствием квантово-механической случайности, — свободен?)
А вот еще одно известное определение: «Свобода воли — это способность самостоятельно определять свои действия». Непонятно только, что значит «самостоятельно». (Действия, предопределенные генетически или обусловленные внушением или случайностью, — самостоятельны? Действия ребенка, копирующего взрослых, — самостоятельны?)
Вообще такого рода явные словесные определения свободы воли — привлекательные на первый взгляд — сильно напоминают порочный круг. Намного более надежным могло бы быть определение обсуждаемого понятия через устойчивый, повторяющийся контекст.
Поясню свою мысль на примере определения понятия «дуэль на пистолетах». Онегин и Ленский стреляются, Пушкин и Дантес стреляются, Лермонтов и Мартынов стреляются… Это — дуэль на пистолетах.
Парадокс заключается в том, что для «свободы воли» мы, вообще говоря, не располагаем подобным устойчивым, повторяющимся контекстом. Именно те действия, которые мы склонны приписывать нашей свободе воли, глубоко индивидуальны, их мотивы непроверяемы…
И все же в некоторой достаточно узкой области (а именно — в математике) такой контекст удается обнаружить. Дело в том, что одно из вполне надежных мыслительных средств, которыми пользуются математики, прямо опирается на существование свободной воли.
Это средство — ОПЕРАТОР СВОБОДНОГО ВЫБОРА (не путать с аксиомой выбора), действие которого определяется словами:
«пусть x — произвольно взятый элемент множества X». (*)
(Вместо термина «произвольно взятый» употребляются также его синонимы: «некоторый произвольный», «любой», «какой-либо», «какой-нибудь».)
Приведем пример использования оператора (*) при доказательстве одной из школьных теорем.
Теорема. Площадь каждого треугольника равна половине произведения его основания на высоту. (Точнее: численное значение площади каждого треугольника равно половине произведения численного значения длины его основания на численное значение длины опущенной на это основание высоты.)
Доказательство. Рассмотрим произвольно взятый треугольник; обозначим его АВС. Далее, применяя общеизвестные построения и вычисления, докажем утверждение теоремы применительно к треугольнику АВС. Так как треугольник АВС был выбран произвольным образом, заключаем, что площадь каждого треугольника определяется по такой же формуле. Теорема доказана.
Замечание. Покажем, что «произвольный выбор» заменить на «случайный выбор» в доказательстве нельзя. Действительно, попробуем провести доказательство так: пусть АВС — некоторый случайным образом выбранный треугольник. Проведя для треугольника АВС соответствующие построения и вычисления, докажем для этого треугольника требуемую формулу. Так как треугольник АВС был выбран нами случайно (а не произвольно), то… закончить доказательство не удается. Из того, что для некоторого случайно выбранного треугольника верна какая-то формула, еще не следует, что эта формула верна для всех треугольников.
Мы видим, что комбинация слов «произвольно взятый элемент» обладает замечательной способностью фокусировать нас на одном-единственном объекте так, что результат наших рассмотрений оказывается приложим ко всем объектам сразу!
Приведем другой характерный пример применения оператора свободного выбора — на этот раз из математической физики. Рассуждение, взятое из книги Рихарда Куранта, приводится в сокращенном пересказе, с тем чтобы подчеркнуть применение оператора свободного выбора.
Итак, требуется установить, что некоторая функция U(Q), заданная на внутренности шара, при стремлении точки Q к границе шара стремится к заданным граничным значениям. Доказательство ведется следующим образом. Пусть P — произвольная точка на границе шара, Q — произвольная точка внутри шара. Доказываем, опираясь на геометрические соображения, что U(Q) сколь угодно мало отличается от граничного значения в точке P, если Q достаточно близка к P. Затем Курант сразу заключает: «Это завершает доказательство», опуская, как чересчур очевидное, соображение «так как точка P на границе шара была выбрана произвольно».
Замечание. Слова «так как элемент x был выбран произвольным образом, то проведенное рассуждение справедливо для всех x» представляют собой, по сути, вторую часть оператора (*) и должны завершать доказательство, начинающееся с применения оператора (*). В неформализованных (то есть не пользующихся языком формальной логики) математических текстах это соображение, как правило, опускается. В разделе логики, именуемом теория предикатов, упомянутое логическое действие называется правилом обобщения.
Зададим теперь себе вопрос: чья же свободная воля имеется в виду в каком-либо математическом тексте, использующем оператор (*)? Очевидно, что, поскольку математический текст призван убедить читателя в справедливости того или иного вывода, то имеется в виду именно свободная воля читателя. Иными словами, тысячи математиков, пишущих тексты, где явно или неявно используется оператор (*), предполагают наличие свободной воли у всех, кому они адресуют свои труды.
Итак, понятие «свободная воля» — один из инструментов значительной части математики (в частности — математического анализа, теории дифференциальных и интегральных уравнений), а также математической физики. С помощью этого понятия получена масса результатов, допускающих физическую проверку и выдержавших ее. Если свободная воля — иллюзия, то как объяснить предсказательную силу этих математических работ?
P.S. Еще одна идея заключается в том, что механизм, запрограммированный так, что термин «произвольный» воспринимается им как «случайный», легко отличим от человека (частный случай задачи, восходящей к Алану Тьюрингу). В качестве теста предлагается задача:
«Имеется последовательность из нулей и единиц. Первый член последовательности 1. Если для некоторого произвольно взятого номера n соответствующий член последовательности равен 1, то следующий за ним также равен 1. Верно ли, что вся последовательность состоит из единиц?»
Андроид (который понимает «произвольный» как «случайный») говорит: «Это утверждение недоказуемо».(Еще он может сказать, что в каждом из множества миров в этой последовательности будет свое количество единиц.)
Человек говорит: «Очевидно, верно».
P.P.S. Вариант теста. «На числовой оси задана функция f. Для произвольно взятого x доказано, что f(x)=1. Верно ли, что f(0)=1?»
Андроид (который понимает «произвольный» как «случайный») говорит: «Это, вообще говоря, неверно».
Человек говорит: «Очевидно, верно».
Замечание. То, что андроид будет прочитывать термин «произвольный» как «случайный», вовсе не обязательно. Это зависит от вложенного в него алгоритма. Однако такой способ запрограммировать андроида представляется мне наиболее естественным. Это, конечно, сужает область рассмотрения. Если посмотреть на проблему более широко, то можно предположить, что в результате саморазвития алгоритма мы обнаружим, что устройство реагирует на термин «произвольный» так же, как и люди. В этом случае я бы предложил считать устройство живым и ответственным за свои поступки.
О понятии «переменная величина»
Еще Диофант (III век) при решении уравнений использовал буквы для обозначения неизвестных, однако развитая система буквенных обозначений для нужд алгебры сформировалась гораздо позднее, после работ Виета (конец XVI века), применившего буквенную символику и для обозначения известных величин — коэффициентов рассматриваемых уравнений.
В дальнейшем, после работ Декарта, Ньютона, Лейбница, в математику прочно вошло понятие переменной, которую также стали обозначать при помощи букв. В сущности, без понятия переменной величины (как и без понятия числа) в наше время математика немыслима.
В современной математической логике понятие переменной фактически вытеснило понятие неизвестного.
Например, уравнение
х + 3 = 5 (1)
рассматривается как одноместный предикат, то есть выражение, зависящее от переменной х и превращающееся в высказывание (ложное или истинное) при подстановке вместо х какого-либо числового значения этой переменной. Что касается решения уравнения (1), то оно рассматривается как элемент множества истинности соответствующего предиката (то есть множества всех тех х, при которых предикат (1) превращается в истинное высказывание). В нашем случае, очевидно, упомянутое множество истинности состоит из единственного числа 2.
Такая точка зрения на уравнения позволяет избавиться от «лишнего» понятия неизвестное и унифицировать изложение материала, относящегося к теме «предикаты». Однако, математики, работающие не в сфере чистой логики, решая уравнения, обычно предпочитают иметь дело с неизвестным х, а не с переменной х.
С чисто математической точки зрения оба подхода эквивалентны, но с точки зрения педагога разница между ними существенна.
Дело в том, что понятие «неизвестное» гораздо проще , чем понятие «переменная» (на что обычно не обращают внимания). Недаром понятие «переменная» вошло в математический обиход спустя более тысячи лет после понятия «неизвестное»!
Если х — неизвестное решение какого-то уравнения (о котором мы знаем, что у него имеется одно-единственное решение), то х — это имя индивидуального объекта.
Если мы имеем дело с уравнением, у которого несколько решений, то и здесь можно временно сосредоточиться на каком-то одном из решений, попрежнему считая, что х — это имя индивидуального объекта.
Если же х — переменная, то:
х — это не имя индивидуального объекта;
х — это не имя совокупности объектов;
х — это не имя какого-либо известного физического процесса.
Если, допустим, переменная х — это точка, пробегающая сферу, и мы спросим у двух разных математиков, где, по их мнению, расположена эта точка в данный момент времени и куда она движется, то мы получим, скорее всего, разные ответы.
Но тогда что же представляет собой переменная х? На мой взгляд, ответ на этот вопрос таков:
х — это переменная точка, то есть свободно выбираемый элемент из некоторого множества Х.
Таким образом, само понятие «переменная» не является, как мы видим, «первичным», а определяется через (беспрерывно возобновляемую) процедуру свободного выбора.
Итак, свободный выбор обнаружился — хотя и в скрытом виде — среди базовых, неустранимых понятий современной математики (и, в частности, математической логики). Так что свободная воля, видимо, — не иллюзия.
Могут ли эти «околоматематические» соображения как-то помочь отыскать механизм человеческого мозга, отвечающий за реализацию свободного выбора?
Обсуждения Свободная воля