ВВЕДЕНИЕ
Математика на протяжении многих веков остается олицетворением науки и символом мудрости. Первоначальное значение слова «математика» (от греч. mathema - знание, наука). По мнению многих современных ученых математика является основополагающей дисциплиной всех существующих в современном мире наук. С этим мнением соглашается большинство ученых, у которых разногласия существуют по поводу источников знаний, или скорее о первоисточнике, с какой стороны пришли к нам знания о математике из Греции или из Индии, в какой из этих стран впервые зародились зачатки числовых систем, которыми сейчас пользуется весь мир?
Пифагор – едва ли не самый популярный ученый не только в древности, но и в наши дни. Говорят, что благодаря гениальной интуиции пифагорейцам удалось сформулировать два тезиса, общую значимость которых подтвердило все последующее развитие науки: во-первых, что основополагающие принципы, на которых стоит мироздание, можно выразить на языке математики. Во-вторых, что объединяющим началом всех вещей служат числовые отношения, которые выражают гармонию и порядок природы. Таким образом, определяет роль Пифагора в современной науке американский математик М.Клайн.
Так что же такое математика и в чем ее особенность? «Математика – это больше, чем наука, это язык» - определяет место математики в системе наук знаменитый датский физик Нильс Бор (1885-1062). Математика может быть языком любой науки, умеющей на нем разговаривать. В этом универсальность и могущество математики, но в этом и особая красота математики, выделяющая ее среди других наук. Ибо всякий язык красив уже сам по себе, как средство общения.
Математика – это особое средство общения: она помогает найти общий язык служителям разных наук и, что еще важнее, она помогает ученому «разговаривать с природой». Так волны на воде, звуковые волны и радиоволны описываются на языке математики одним и тем же дифференциальным уравнением, известным под названием волнового уравнения. Таким образом, в математике находит выражение важнейший критерий научной красоты – единство в многообразии.
Математика раскрывает перед человеком красоту внутренних связей, которые существу-ют в природе, и указывают на внутреннее единство мира. То, что именно в математике достигается в наивысшей форме единство в многообразии, а, следовательно, и наибольшая красота в науке, отмечал в статье «Смысл и значение красоты в точных науках» В. Гейзенберг: «Понимание всего богато окрашенного многообразия явлений достигается путем осознания присущего всем явлениям объединяющего принципа форм, выражаемого на языке математики. Таким же образом устанавливается тесная взаимосвязь между тем, что воспринимается как прекрасное, и тем, что доступно пониманию лишь с помощью интеллекта».
Язык математики – это особый язык науки. В отличие от естественного языка (русского или английского), который в основном классифицирует предметы и потому является языком качественным, язык математики, прежде всего количественный. Количественный язык представляет собой дальнейшее развитие и уточнение обычного качественного языка, но он не исключение, а скорее дополняет последний.
Важнейшим преимуществом количественного языка математики является краткость и точность. В этом его огромное преимущество и в этом его красота, ибо именно в математическом языке претворяется один из основных признаков красоты в науке: сведение сложности к простоте. Всем известно, что с помощью математического языка – функций, уравнений, формул – точно и кратко описываются самые разнообразные свойства и явления, происходящие в природе и обществе.
Итак, математика – это не только самостоятельная наука о «математических структурах», но и язык других наук, язык единый, универсальный, точный, простой и, следовательно, красивый, Хорошо сказал об этих качествах математики наш современник, замечательный советский математик С.П.Соболев, в 31 год ставший академиком: «Есть одна наука, без которой невозможна никакая другая.
Это математика. Ее понятия, представления и символы служат языком, на котором говорят, пишут и думают другие науки. Она объясняет закономерности сложных явлений, сводя их к простым, элементарным явлениям природы. Она предсказывает и пред вычисляет далеко вперед с огромной точностью ход вещей». Последнее свойство математики, о котором говорит Соболев, дающее возможность «выспрашивать» у природы ее тайны и позволяющее делать потрясающие воображение открытия «на кончике пера», ставит математику в исключительное положение среди наук.
«Для нас, чьи плечи ноют под тяжестью наследия греческой мысли, кто идет по стопам героев эпохи Возрождения, цивилизация немыслима без математики», - Анри Вейль, французский математик. «Музыка может возвышать или умиротворять душу, живопись – радовать глаз, поэзия – пробуждать чувства, философия – удовлетворять потребности разума, инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей. Но математика способна достичь всех этих целей». - Морис Клайн, американский математик.
Однако возникает новый вопрос. Если наука, а тем более математика так богаты собственной немеркнущей красотой, то почему многие крупнейшие ученые, едва только речь заходит о "прекрасном", непременно обращаются к искусству? Таким образом, мы подходим к интереснейшей и захватывающей теме, проблеме взаимодействия науки и искусства, происходящего в окружающем нас мире.
Что же известно о Пифагоре? Пифагор древнегреческий мыслитель, религиозный и политический деятель, основатель цифратореизма, математик. Пифагору приписывается изучение свойств целых чисел и пропорций, доказательство теоремы Пифагора и др. Родился Пифагор на острове Самос, расположенном в Эгейском море у берегов Малой Азии, около 570 г. до н.э. Остров Самос известен пробитым под горою Кастро туннелем, по которому проходил водопровод, снабжающий город Самос питьевой водой. Туннель строился с двух сторон, причем расчеты, были настолько точными, что оба хода сошлись под горой с незначительной ошибкой.
Самосский туннель, построенный около 530г. до н.э., свидетельствует о высоком уровне знаний математики строителями того времени и смелом ее применении. Подлинно новым и революционным в пифагорейской научной системе явилось учение о числе. В числовых отношениях, т.е. в математике, видели пифагорейцы сущность мировой гармонии, ключ к разгадке всех тайн природы, окруженных ореолом мифологии.
Пифагорейская наука была еще слишком близка к мифологии, чем и объясняется царившее в ней «мифологическое начало». Но то, что в математических свойствах пифагорейцы увидели сущность явлений природы, то, что в основе разнородных процессов они обнаружили некоторую пропорциональность, закономерность, выражаемую числом, было выдающимся научным завоеванием. «Подобно тому, как число подчинено определенным законам, так подчинена им и вселенная; этим впервые высказывается мысль о закономерности вселенной»,- так характеризовал роль пифагорейского учения о числе Ф.Энгельс.
ПИФАГОР
Много разных легенд дошло до наших дней о рождении Пифагора. Некоторые из них утверждают, что он был одним из богов, принявших человеческий облик для того, чтобы войти в мир и учить человеческую расу. Пифагор был одним из многих мудрецов древности, за кем утвердилась репутация "безупречного" во всем человека.
Исследователи древности М.П.Холл, Х.Редгроув Г.Хиггинс описывают предполагаемые отрезки жизни Пифагора, показывая всю значимость его творения дошедшего из глубины прошедших веков до наших дней. В своем «Апокалипсисе» Годфри Хиггинс пишет о том, что странным образом происходят совпадения истории жизни Пифагора с жизнью Иисуса. Они были уроженцами почти одной и той же местности. Пифагор родился в Сидоне, а Иисус в Вифлееме, оба города в Сирии.
Отец Пифагора, как и отец Иисуса, был пророчески извещен о том, что у него родится сын. Оба родились в то время, когда их родители были вне дома. Иосиф и его жена были на пути в Вифлеем для уплаты налогов, а отец и мать Пифагора путешествовали из Самоса, своей резиденции, в Сидон по делам. Пифазис, мать Пифагора, имела соитие с духом бога Аполлона, или Бога Солнца (В случае с Иисусом был Святой Дух), который впоследствии явился к ее мужу и сказал ему, что тот не должен спать с женой все время ее беременности – история та же самая, по сути, что случилось с Иосифом и Марией.
Из-за этих обстоятельств Пифагор был известен под тем же именем, что и Иисус, а имен-но как сын Бога, и люди верили, что Он был Божественно вдохновлен». Пифагору приписывается путешествие по странам Востока. Он спускался в знаменитую пещеру Крита, с которой греки связывали миф о сотворении богов, был в Египте, где якобы попал в плен к персам и был увезен в Вавилон, и это сыграло определенную роль в судьбе Пифагора: Считается, что у халдейских мастеров Пифагор постиг знания математики, так как есть взаимосвязь вавилонской математики и математики Пифагора.
Существует предположение, что Египетские жрецы и вавилонские халдеи привили также Пифагору пристрастие к восточным таинствам, магии и числовой мистике. Согласно преданию, на сороковом году жизни Пифагор поселился в городе Кротоне. В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозно-этического братства или тайного монашеского союза, члены которого обязывались вести так называемый пифагорейский образ жизни. Это был одновременно и религиозный союз, и политический клуб, и научное общество.
Наследие Пифагора огромно, а система жизненных принципов и правил, проповедуемая Пифагором, и сейчас достойна подражания. Так, Пифагор учил: «беги от всякой хитрости, любым орудием отсекай от тела болезнь, от души – невежество, от утробы – роскошество, от семьи – ссору, от всего, что есть – неумеренность». Пифагор предписывал чтить "старейших", «ибо всюду предшествующее почетнее последующего». Пифагор высоко ценил дружбу, считая, что у друзей все общее и что друг – это второе я.
Ритуал посвящения в члены пифагорейского братства был окружен множеством таинств, разглашение которых сурово карались. Но и попав в школу после строгого отбора и испытательного периода, новички могли только из-за занавеса слушать голос Учителя, видеть же его самого разрешалось только после нескольких лет аскетической жизни. «Стремление уйти от мира, замкнутая монашеская жизнь, вегетарианство и общность имущества встречались у многих сект.
Но что отличало пифагорейцев от всех других – это способ, при помощи которого они считали возможным достигнуть очищения души и соединения с божеством; это делалось именно при помощи математики. Математика была одной из составных частей их религии». Это меткая характеристика пифагорейского братства принадлежит известному голландскому математику и историку науки Б.П. Ван дер Вардену.
Эзотерические учения всегда носили тайный характер и не излагались письменно, поэтому и не сохранилось никаких письменных трудов самого Пифагора. В математике, в по-знании количественных отношений, видели пифагорейцы ключ к разгадке мировой гармонии, постижение которой и составляло смысл их жизни. Пифагорейцы верили в бессмертие души и переселение души человека в животных. Поэтому они полагали, что по-священные в тайны всеобщей гармонии, т.е. стремление к истине, приближает душу человека к божеству, создавшему эту гармонию, вследствие чего душа сможет освободиться от дальнейших перевоплощений.
Обет молчания, даваемый пифагорейцами, на современный лад означает «держи язык за зубами». Здесь существует принципиальная преемственность: Сначала молчит ученик, затем молчит учитель. Пифагорейцы имели ряд знаков и символов, которые были своего рода заповедями, например: «через весы не шагай», т.е. не нарушай справедливости; «огня ножом не вороши», т.е. не задевай гневных людей обидными словами; «не ешь сердца», т.е. не подтачивай душу страстями или горем.
Тайны древних Мистерий никогда не открывались профанам, разве что посредством символики. Символы выполняют двойную роль, сокрытия священных истин от непосвященных и в то же время открытия этих истин тем, кто понимает символизм. Со временем многие Мистерии были извращены, колдовство занимало место божественной магии. В обиход вошла практика вакханалий, инициированные служители Мистерий, пытаясь спасти секретные доктрины, помещали свои знания в самых различных местах, но по большей части тайна была «официально» утеряна и от многих Мистерий осталась одна пустая оболочка.
Часть мистических действий перешла в ритуалы религиозных практик. Например, традиция поминания умершего, где в третий, девятый и сороковой дни следует читать по усопшему особую кафизму (в неё входит один 118-й псалом), называемую поминальной. Считается, что на третий день разрушается оболочка.
Если поминки (третий, девятый, сороковой день, годовщина) приходятся на время Вели-кого поста, то в первую, четвертую и седьмую неделю поста родные и близкие усопшего на поминки никого не приглашают. Эти недели особенно строгие. Допускается присутствие за столом лишь самых близких родственников: мать или отец, жена или муж, дети или внуки. Так ритуальные особенности Древних Мистерий показывают человеку Гармонию взаимного существования всех Природных явлений.
Главным пифагорейским символом и опознавательным знаком – была пентаграмма или пифагорейская звезда – звездчатый пятиугольник, образованный диагоналями правильно-го пятиугольника. Звездчатый пятиугольник обладает замечательными математическими свойствами. Он содержит все пропорции, известные пифагорейцам: арифметическую, геометрическую, гармоническую и так называемую золотую. Видимо, поэтому пентаграмма и была выбрана в качестве пифагорейского символа.
Нарисованная пентаграмма была тайным знаком, по которому пифагорейцы узнавали друг друга. Однако в первоначальном виде пифагорейский союз просуществовал недолго и к концу VI века (ок. 510 г. до н.э.) подвергся кровавой распре. Пифагорейцы бежали из Кротона в другие города, что во многом способствовало распространению учения Пифагора по всей Греции и даже за ее пределы. Сам Пифагор удалился в город Метапонт, расположенный неподалеку от Кротона, где и провел остаток своей жизни.
Смерть Пифагора также окружена красивыми легендами. По одной из них, дом в Кротоне, где Пифагор собирался со своими учениками, был подожжен. Преданные друзья бросились в огонь и проложили в нем дорогу учителю, чтобы он по их телам вышел из огня, как по мосту. Друзья погибли, а сам Пифагор, будучи спасенным, столь высокой ценой, так затосковал, что лишил себя жизни. Умер Пифагор около 500 г. до н.э.
Фрэнк Хиггинс, дает отличную сводку пифагорейских доктрин: «Учение Пифагора имеет огромную важность для масонов, потому что оно было результатом его контактов с ведущими философами всего цивилизованного мира того времени и представляло то, в чем они все были согласны, вырвав с корнем все сорняки разногласий. Таким образом, аргументы Пифагора в защиту чистого монотеизма являются достаточным свидетельством того, что единство Бога было высшим секретом всех древних инициаций. Гипотеза о том, что эта традиция была доминирующей, может считаться оправданной.
Философская школа Пифагора была в известной мере так же серией инициаций, поскольку он заставлял учеников проходить через различные ступени и никогда не вступал с ни-ми в личный контакт, пока они не достигали определенной степени совершенства. Со-гласно его биографам, степеней было три. Во-первых, это касалось «Математики» - его ученикам вменялось в обязанность знание математики и геометрии, которое было тогда и могло бы быть сейчас, если бы масонство было должным образом внедрено, основанием, на котором воздвигалось все знание.
ОСНОВЫ ПИФАГОРЕИЗМА
Учение пифагорейской школы считается утраченным и вновь воссозданным по имеющимся источникам информации о философах пифагорейцах и той научной базовой основы, которой они располагали. Принципы пифагорейской школы восстановлены по ссылкам на учение Пифагора в работах Аристотеля, Платона, Сократа и других древнегреческих философов.
Пифагорейская школа занималась изучением геометрии, музыки и астрономии. Это считалось существенным для понимания Бога, человека или Природы. Каждый претендент проверялся по этим трем предметам, и, если обнаруживалось его невежество, он не входил в состав учеников посвящаемых на более высокие уровни.
Пифагор не впадал в крайности. Он учил скорее умеренности во всех вещах, нежели излишеству в чем-либо, поскольку полагал, что избыток добродетели – уже порок. Одним из его любимых выражений было: «Мы должны всеми силами стремиться к истреблению во всех вещах излишеств и огнем и мечем изгонять из тела болезни, из души – невежество, из живота – обжорство, из городов – призывы к бунту, из семьи – раздоры».
Пифагор верил, что нет большего преступления, нежели анархия. Все люди знают, чего они хотят, но мало кто знает, что ему нужно. Считается, что богом Пифагора была Монада, или Единое, которое есть Все. Он описывал Бога как Верховный Ум, рассредоточенный по всем частям Вселенной, как Причину всех вещей, Разум всех вещей и Силу всех вещей. Он далее говорил, что движение Бога является круговым, тело Бога состоит из световой субстанции, а природа Бога должна состоять из субстанции истины.
Все философы древности одновременно были и врачами. Эти люди знали так же волшебные свойства огромного числа растений. Пифагорейцы так же практиковали врачевание и лечили людей разными методами. Пифагор открыл, что музыка может иметь терапевтическое значение, и составлял различные специальные гармонии для различных болезней. Он экспериментировал также с цветом и как будто достиг больших успехов. Один из его уникальных методов лечения заключался в рекламировании стихов из «Илиады» и «Одиссеи» Гомера, их нужно было читать больному человеку.
Пифагор верил, что человеческие отношения являются по своей природе больше умственными, нежели физическими, и что незнакомец, ему симпатичный с интеллектуальной точки зрения, ближе к нему, нежели кровный родственник, не разделяющий его точку зрения. Пифагор определял знание как плоды умственного накопления. Он считал, что оно может быть добыто множеством путей, но главным считал наблюдение.
Мудрость есть понимание источника или причины всех вещей, и может быть достигнута только поднятием интеллекта до той точки, где он интуитивно осознает невидимые про-явления, направленные через "видимое", становясь, таким образом, способным к общению скорее с духами вещей, нежели с их формами. Окончательным источником, который дол-жен быть постигнут мудростью, была Монада, таинственный вечный атом пифагорейцев.
Пифагор верил, что все сидерические тела являются живыми и что формы планет и звезд являются просто телами душ, умов и духов точно так же, как видимая человеческая форма является носителем невидимого духовного организма, который и есть в реальности сознающий индивид. Пифагор считал планеты волшебными божествами, достойными поклонения и уважения человека. Все эти божества, однако, с его точки зрения, подчинены «Первой Причине», внутри которой они существуют временно так, как смертность существует посреди бессмертия.
Знаменитая пифагорейская Y означала силу выбора и использовалась в Мистериях как эмблема Развилки Пути. Символический знак интеграции и числовой показатель пентаграммы! Половина! Точка готовности («точка сборки» по Кастанеде) или точка бифуркации в терминологии современной физики. Основные принципы учения пифагорейской школы составляют основу розенкрейцеровских и масонских знаний, а также всех эзотерических направлений и более подробно описаны в энциклопедии М. П. Холла.
1 и 2 не считались числами у пифагорейцев, потому что они представляют две над-мирские сферы. Никто об этом точно не знает и считается, что Пифагорейские числа начинаются с 3, треугольника, и 4, квадрата. Сложенные между собой и плюс 1 и 2, они дают число 10, великое число всех вещей, архетип Вселенной. Три мира были названы вместилищами. Первый был вместилищем принципов, второй – разума, а третий – низший – вместилищем количества.
«Симметричные геометрические тела имели для пифагорейцев и последующих греческих мыслителей величайшее значение. Для того чтобы быть совершенно симметричным, геометрическое тело должно иметь равное число граней, встречающихся в углах, и эти грани должны быть правильными многоугольниками, то есть фигурами с равными сторонами и углами. Пифагор, вероятно, был первым, кто сделал величайшее открытие, что есть толь-ко пять таких тел.
Далее греки полагали, что мир состоит из четырех элементов: земли, воздуха, огня и воды, - и греческий ум неизбежно пришел к заключению, что формами частиц или эле-ментов были правильные геометрические тела. Земные частицы были кубами, и куб, будучи правильным геометрическим телом, обладал величайшей устойчивостью. Огненные частицы были тетраэдрами; тетраэдр был простейшим из правильных тел и поэтому самым легким.
Водные частицы были икосаэдрами в силу того же принципа, и воздушные частицы, будучи промежуточными между двумя последними, были октаэдрами. Додекаэдр для античных математиков был наиболее таинственным из всех геометрических тел. Его труд-нее всего было сконструировать, одной из причин чего была необходимость аккуратно вычерчивать пятиугольник, пентагон, используя при этом великую теорему Пифагора. Отсюда и заключение Платона о том, что «это (правильный додекаэдр) Божество использовало для планирования Вселенной».
В большинстве своем пифагорейцы, имеющие математические знания участвовали в расчетах, производимых при измерении земельных участков и строительных работах, там, где требовалось делать точные вычисления. Впоследствии эти знания были утрачены и «переоткрыты» современными мастерами. Например, архитектор И.Ш.Шевелев использовал парные меры (два эталона длины) a и b, которые позволяли устанавливать одинаковые отношения между отдельными парами архитектурного сооружения a : b = nа : nb (n=1,2,3,…).
Величинами в качестве парных мер выступали в данном случае геометрические объекты: сторона и диагональ прямоугольника. Зачастую основной задачей геометрии было измерение площадей земельных участков, методом приложения, суть которого состояла в следующем. К измеряемому прямоугольнику прикладывается эталон площади (как правило, квадрат). В прямоугольнике, образованном стороной эталона и стороной измеряемого участка, проводилась диагональ до пересечения с продолжением второй стороны эталона.
Получалось три прямоугольника. Два из них, через которые прошла диагональ, подобны, а третий равновелик эталону. Сторона равновеликого прямоугольника и служила линей-ной мерой для определения площади. Так измерение площади сводилось к простому под-счету числа линейных мер в стороне измеряемого прямоугольника. Так сторона и диагональ прямоугольника становились основными инструментами древних землемеров – математиков.
Философ, занимающийся математическими расчетами, одновременно был архитектором, когда интуиция и расчет были непременными спутниками зодчего. Архитектура триедина: она извечно сочетает в себе логику ученого, ремесло мастера и вдохновение художника. «Прочность – польза - красота» - такова знаменитая формула единого архитектурного целого, выведенная два тысячелетия тому назад древнеримским теоретиком зодчества Витрувием (I в. До н.э.).
Роль математики в формировании «прочности» и «пользы» архитектуры очевидна. За всю историю человечества построено только 4 сооружения, имеющихся каменных купола диаметром более 40 м! Это Пантеон в Риме (123), собор Санта-Мария дель Фьоре во Флоренции (1434), Собор Св. Петра в Риме (1590) и мавзолей ГолГумбаз в Биджапуре (Ин-дия, 1656). Только через тысячу с лишним лет люди повторили достижение древнеримских строителей. Точнее, только приблизительно к нему, ибо купол Пантеона диаметром 43 м. видимо, навсегда останется самым большим каменным сводом.
Прочность не случайно стоит на первом месте формулы архитектора Витрувия. Самый первый строительный кодекс, составленный в царствование вавилонского царя Хамураппи за 1800 лет до нашей эры, гласит: «Если строитель построил дом для человека, и работа его не крепка, и дом, построенный им, обвалился и убил владельца, то строитель сей должен быть казнен». (Эта запись вытесана на колонне, ныне хранящейся в парижском Лувре).
Величие и особую красоту, строительных конструкций вызывают египетские пирамиды, прочность которых недосягаема, ибо в условиях земного тяготения пирамида является наиболее устойчивой конструкцией, способной существовать в веках, без риска обвалиться, или рассыпаться. Главное правило устойчивости конструкции – уменьшение ее массы по мере увеличения высоты над землей – выражено в пирамиде с предельной ясностью и симметрией.
Конструкция древнеегипетской пирамиды является самой простой, прочной и устойчивой. Вес каждого верхнего блока пирамиды по всей поверхности передается нижним блокам. Форма пирамиды представляет полное единство с ее конструкцией. Однако такая конструкция не создает внутреннего объема и, по существу, не является архитектурной конструкцией.
Простейшей и древнейшей архитектурной конструкцией является стоечнобалочная система. Ее прототипом был дольмен – культовое сооружение, состоящее из двух вертикаль-но поставленных камней, на которые наши предки водрузили третий горизонтальный камень. Назначение дольмена до конца не выяснено. Со временем дольмен перерос в кромлех – сооружение, служившее, по всей видимости, для жертвоприношений и ритуальных торжеств.
Кромлех состоял из огромных отдельно стоящих камней, которые накрывались горизонтальными камнями и образовывали одну или несколько концентрических окружностей. Самый значительный и загадочный кромлех сохранился в местечке Стоунхендж (Англия) и относится к X X – XVII векам до н.э. Есть основания считать, что он был и древней астрономической обсерваторией.
Есть основания выдвинуть в данном случае и другую версию, пользуясь наличием функциональных способностей сооружения, - быть определенного вида временного жилого строения. Когда перекинутая через верхнюю балку дольмена веревка позволяет соорудить крышу и стены для временного помещения.
Гармонию в природе естествоиспытатели видят в целесообразном и совершенном устройстве мироздания, которое находит выражение в «красивых» математических уравнениях и принципах симметрии. Гармонию в архитектуре зодчие рассматривают как сложную иерархическую систему, которая связывает все элементы архитектурной композиции в единое художественное целое и которая проявляется на, законах пропорциональности.
Пропорциональность является наиболее ярким, зримым, объективным и математически закономерным выражением архитектурной гармонии. Пропорция – это математическая закономерность, прошедшая через душу зодчего, это поэзия числа и геометрия в его архитектурном языке.
Считалось, что все архитекторы посвящены в определенные тайны ремесла. Вот почему на языке пропорций говорили зодчие всех времен и всех архитектурных направлений: древние египтяне и древние греки, средневековые каменотесы и древнерусские плотники. Все они, к сожалению, не сохранили для потомков секреты своих пропорций. Единственное дошедшее до нас античное сочинение о зодчестве – это труды Витрувия «Десять книг об архитектуре», время написания которых относят к 27-14 гг. до н.э. Книги были случайно обнаружены через тысячу лет, в 1414 г., в монастыре Сен-Галлен в Италии.
Археологи изредка находят инструменты древних мастеров. Например, в Неаполе, в Национальном музее, хранится пропорциональный циркуль, найденный при раскопках в Помпеях. Кроме помпейского, особый интерес представляет циркуль из Музея терм в Риме. Он так же имеет длину вполовину римского фута – 146 мм. Но он настроен на другую иррациональную пропорцию.
Считается, что пятиконечной звезде, которая содержит все древние «средние», – около 3000 лет. Ее первые изображения донесли до нас вавилонские глиняные таблички.
Из Древней Вавилонии в Средиземноморье, как полагают, звездчатый пятиугольник перевез Пифагор и сделал его тайным опознавательным знаком. В середине века пентаграмма использовалась колдунами и магами и «предохраняла» от «нечистой силы», что, впрочем, не мешало называть ее «лапой ведьмы». Разделив окружность с помощью метода Птолемея, где отрезок дает сторону правильного десятиугольника на 10 равных частей, соединяя подряд точки деления окружности, получим правильный десяти-угольник, а соединяя точки деления через две, - звездчатый десятиугольник.
Внутри звездчатого десятиугольника вновь образуется правильный десятиугольник, в который можно вписать новый звездчатый десятиугольник, и т.д. Проведя радиусы в вершины десятиугольников, легко увидеть (именно увидеть глазами) целое созвездие пяти-конечных звезд. А зная свойства последних, мы предчувствуем обилие золотых пропорций, образующих ряд золотого сечения. 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,…,Эта последовательность имеет древнюю историю.
Она впервые была описана в 1202 г. в «Книге об абаке» итальянским купцом и математиком Леонардо из Пизы, известным более по его прозвищу – Фибоначчи – сын доброй природы. С тех пор последовательность называется рядом Фибоначчи, а ее члены – числами Фибоначчи. «Книга об абаке» Фибоначчи была своего рода математической энциклопедией средневековья и сыграла заметную роль в развитии математики в Европе. В 1843 г., через 641 год после открытия ряда Фибоначчи, определяемого рекуррентно через сумму двух предыдущих членов ряда, французский математик Ж.Бине нашел формулу для вычисления n-го члена ряда Фибоначчи как функции его номера.
Ряд золотого сечения и тесно связанный с ним ряд Фибоначчи обладают массой исключи-тельных математических свойств, которые нашли отображение в живой природе. К на-стоящему времени накоплено множество фактов, показывающих, как ряд Фибоначчи про-является в формах живой природы как закон единообразного роста. Ряд Фибоначчи обнаружен и в расположении семян подсолнечника или сосновой шишки, и в распределении листьев и хвои на деревьях, и в расположении стеблей.
У человека просматриваются те же аналогии: - пуп человека – делит тело человека в золотом сечении. Возьмите линейку и измерьте длину трех фаланг среднего пальца и пясти. Поделив эти числа на длину первой фаланги, вы с поразительной точностью обнаружите 4 члена ряда золотого сечения: 1, Ф=1,618, Ф²=2,618 , Ф³=4,234 «Человек – мера всех вещей…» Этот знаменитый афоризм древнегреческого философа Протагора (ок. 490-ок.420 до н.э.) является ключом к разгадке тайны пропорций Парфенона, его поразительной гармонии и спокойствия.
Как это ни парадоксально, но между живыми линиями человеческого тела и застывшими на тысячелетия каменными очертаниями древнего сооружения существует глубокая связь, выраженная в математических законах пропорциональности. Пифагореец Поликлет пока-зал, что золотая пропорция присуща не только абстрактной геометрической фигуре, глав-ному пифагорейскому символу – пятиконечной звезде, но и естественным образом входит в пропорции человека.
Анализ пропорций «Дорифора» и других скульптур Поликлета подтверждает предположения: в скульптурах Поликлета с большой точностью выдержаны пропорции ряда золотого сечения. 1, φ¹,φ²,φ³,φ,φ,φ. Заметим, что в самом методе построения пропорций Поликлета есть принципиальное отличие от метода пропорционирования египтян. Египтяне исходили из какой-то условной единицы измерения, например длины среднего пальца, которую затем целое число раз «укладывали» в ту или иную часть изображения человека.
Поликлет же рост человека принимает за единицу, затем фиксирует определенную часть тела, какова бы она ни была по размерам, и находит их отношение. Такое отношение могло выражаться не только отношением целых чисел, как у египтян, но и быть иррациональным числом, как в случае золотого сечения. Так в архитектуре возникали каноны. Известны три древнеегипетских канона, - первый канон эпохи Древнего царства, приписываемый Имхотепу (ХХVIII в. До н.э.), слагает рост человека из 6 ступней ноги. Второй – эпохи Среднего и Нового царства (X X1 – Х11 вв. до н.э.) разбивает каждую ступню еще на три части и таким образом составляет рост человека из 18 единиц.
Третий канон позднего периода*(*распределение канонов по периодам условно) (ХI – IV вв. до н.э.) складывает рост человека из 21 части с четвертью. Текст египетских канонов не сохранился, хотя в дошедшем до нас каталоге храмовой библиотеки в Эдфу под шестым номером значится трактат «Предписание для стенной живописи и канон пропорций». Легко видеть, как с течением времени усложнялся древнеегипетский канон, хотя и на такие ничтожные для современника «уточнения» потребовалось 2500 лет!
АРИАБАТА
Ариабата, выдающийся индийский философ, о жизни которого имеется очень мало сведений и до нас не дощли даты его рождения и смерти, имеются только сведения, которые Ариабата сообщил сам о себе и его знаменитое сочинение – «Ариабатия». О самом себе Ариабата лишь дважды упоминает в своем трактате. В части I I I (правило 10) он пишет: «Когда прошли три юги и шестьдесят раз по шестьдесят лет, тогда мне истекли 23 года моей жизни».
В период, когда жил Ариабата, в Индии существовало уже несколько самостоятельных школ ваяния, в том числе школа Амаравати, связанная с культурными традициями Цен-тральной и Южной Индии. Самые значительные памятники амараватских скульпторов были обнаружены на территории древней Андхры, куда входила и Ашмака – родина Ариабаты. В течение многих столетий именно с гуптской эпохой связывали расцвет своей древней культуры и сами индийцы.
Местная традиция повествует о том, что при дворе знаменитого гуптского царя Чандрагупты II (конец IV – начало V в. н..э.), носившего почетный титул Викрамадитья – «Солнце могущества» - находились «девять драгоценностей», которые составляли славу древней Индии – писатели, драматурги и поэты Калидаса, Кшапанака, Шанку, Веталабхата, Гхатакарпара, врач Дханвантари, лексикограф Амарасинха, астролог и астроном Варахамихира, грамматик Вараручи.
Это средневековое свидетельство не соответствует реальным историческим фактам: некоторые из перечисленных здесь деятелей литературы и науки жили ранее или позднее царствования Чандрагупты II. Не справедлива эта официальная традиция и в другом: в числе «девяти драгоценностей» мы не находим имени Ариабаты – астронома и математика, но именно он был одним из самых выдающихся ученых гуптской эпохи и оставил глубокий след в развитии древнеиндийской науки в целом.
В своем сочинении Ариабата специально отмечал, что он излагает науку (т.е. астрономию и математику), «которая очень почитается в Кусумапуре» (одно из названий Паталипутры – столицы Гуптской империи). Вполне возможно, что ученый лично посетил Паталипутру – крупнейший культурный центр древней Индии, где ознакомился с астрономическими и математическими трактатами своих предшественников и современников.
Трудно предполагать, чтобы труды Ариабаты могли остаться незамеченными, чтобы при-дворный хронист даже после гуптской эпохи не знал о замечательных научных открытиях своего соотечественника. Чем же объяснить забвение Ариабаты официальной традицией? Случайной или преднамеренной была эта странная «забывчивость» тех, кто составлял список «девяти драгоценностей»?
Самым простым оправданием мог бы являться тот факт, что Ариабата родился в Декане, в области Ашмака, т.е. вдали от центра гуптской империи. В течение многих десятилетий гуптские цари враждовали с правителями Декана, стараясь, часто и не без успеха, распространить свое влияние на эти районы страны. Однако когда в конце V в.н.э. могущественная империя Гуптов стала испытывать серьезные политические трудности, ее правители старались установить дружеские отношения с династией Вакатаков, в государство которых входила и Ашмака – родина Ариабаты
Более того, нам известно о браке вакатакского царевича с дочерью Чандрагупты II Викрамадитьи. В этот период влияние Гуптов резко усилилось, в столицу Вакатаков были даже направлены чиновники из Паталипутры. Заметно оживились культурные контакты Севера и Юга. Поэтому объяснять «ошибку» хрониста отдаленностью Ашмаки или культурной изолированности Декана от Северной Индии в позднегуптский период нет никаких оснований.
В древней Индии, как и в античном мире, шла острая борьба между идеализмом и материализмом. Это противоборство двух кардинально разных мировоззрений оказывало не-посредственное влияние на развитие древнеиндийской науки. «Философия» - светильник всех наук, опора всех установлений»,- писал Каутилья. Научные идеи, выдвигавшиеся ученым, были непосредственно связаны с его философским кредо.
Это особенно ярко проявлялось в астрономических работах. «Астрономия, - писал Бируни, блестящий знаток древнеиндийской науки, - самая знаменитая наука среди индийцев вследствие того, что с ней связаны дела их религии». Ознакомление с трудом Ариабаты – «Ариабатией» и сочинениями других древнеиндийских астрономов, подробно излагавших его идеи, позволяет судить о философской позиции Ариабаты и его последователей.
Ариабате было всего 23 года, когда он написал свой замечательный труд «Ариабатия». О дальнейшей судьбе ученого нам, к сожалению, ничего не известно. Подлинные научные взгляды Ариабаты, несмотря на решительную борьбу с ними официальных брахманских кругов, уже в раннее средневековье нашли в Индии убежденных сторонников: они были приняты и детально аргументированы такими выдающимися астрономами как Бхаскара 1 (VII в.н.э.) и Ватешвара (IX в. Н.э.).
«Истина,- писал Бируни,- на стороне последователей Ариабаты, которые вообще производят впечатления настоящих ревнителей науки». Считается, что Ариабхата изобрёл понятие "нуля", нашел весьма точное значение числа "пи" (62832/20000 = 3.1416) и ввел в тригонометрию функцию (1 - cos x), высказал догадку, что вращение небес - только кажущееся и является следствием вращения Земли вокруг своей оси.
«АРИАБАТИЯ»
Согласно индийской традиции существуют четыре эпохи – юги: Крита (золотой век), трета (серебряный век), двапара (бронзовый век), кали (железный век). По индийским представлениям, последняя эпоха – кали-юга – началась в 3102 г. до н.э. и продолжается до сих пор. В своих исследованиях индийской философии российские ученые Г.М. Бонгард-Левин – («Ариабата») и А.И. Володарский – («Математические идеи Ариабаты») вычислили: Если следовать этой традиции, то 499 г. н.э. будет годом написания «Ариабатии» (по упоминанию Ариабаты, он составил свой труд, когда ему исполнилось 23 года).
Отсюда дата его рождения – 476 г. н.э. О научной значимости этого труда говорит тот факт, что он был объектом изучения и исследования на протяжении многих столетий и с санскрита, был переведен на языки хинди, телугу, малаялам. Философы древней индии считали, что в общении с учеными - корень истинного воспитания. «От обучения появляется понимание, - писал Каутилья, автор древнеиндийского политического трактата «Артхашастра», который по индийским традициям был советником маурийского царя Чандрагупты IV в. До н.э.
Считается, что история древнеиндийской цивилизации насчитывает более трех тысячелетий, но ее золотым веком называют эпоху Гуптов (первая половина IV – середина VI вв. н.э.), которая неразрывно связана с именами таких великих поэтов, писателей и драматургов, как Калидаса, Шудрака, Бхаса, Тируваллувар. «Шакунтала» Калидасы – одно из вы-дающихся произведений мировой литературы.
В астрономическом разделе своего сочинения Ариабата писал: «Сфера Земли, будучи совершенно круглой и окруженная орбитой планет, состоит из земли, воды, огня и воздуха». Ариабата, таким образом, придерживался «концепции 4 элементов, как составляющих частях Земли и ее сферы и тем самым резко расходился с взглядами многих астрономов, которые принимали «концепцию 5 элементов», включая в число элементов эфир (акаша). О 5-ти элементах как составных частях Земли писали Варахамихира, автор «Васиштхасиддханты», астроном Бхаттотпала (Х в.) и др.
Позиция Ариабаты схожа в данном случае с взглядами локаятиков – последователей философской школы древнеиндийских материалистов. Локаятики, как свидетельствуют источники, излагающие суть их учения, решительно отстаивали «концепцию 4 элементов». И категорически отвергали пятый элемент – эфир. Концепция 4 элементов», которую мы находим в труде Ариабаты, является не единственным аргументом, позволяющим поста-вить вопрос о влиянии материалистических идей на взгляды древнеиндийского астронома.
Разбирая взгляды индийских ученых на одну из основных проблем мировоззрения – о сути мироздания, Бируни приводит следующее высказывание Ариабаты и его учеников: «Нам достаточно знать то пространство, которого достигают солнечные лучи, и нам нет нужды в том, куда они не добираются, хотя бы оно было очень велико само по себе. То, до чего не достигают солнечные лучи, не может быть познано чувственным восприятием, а недоступное чувству не может быть познано»
В данном случае совершенно отчетливо выражена последовательно антирелигиозная позиция, которая в древней Индии получила разработку в трудах локаятиков, которые постоянно подчеркивали, что предметом их исследования является чувственно воспринимаемый мир, что лишь доступное анализу бытие способно выступать в качестве подлинного объекта умозаключения. Сверхъестественные явления отрицаются уже потому, что опыт не дает о них никаких свидетельств.
Исходный пункт учения локаятиков – чувственное восприятие как единственный источник подлинного знания о мире. Утверждения же религиозных текстов или официального авторитета ничего не могут прибавить к представлениям, полученным из опыта. «И таково их мнение,- писал Харибхадра,- этот мир существует настолько, насколько воспринимается чувствами».
Показательно, что Каутилья называл локаяту в числе трех философских учений, имевших наибольшее влияние. Источники свидетельствуют, что в период Средневековья позиции локаяты особенно сильны были в Южной Индии. Это дает основание полагать, что и в эпоху Ариабаты в этих же районах – а с ними была связана жизнь ученого – материалистические идеи были весьма популярны. Великий ученый не принадлежал к тем астрологам, которые, по словам Бируни, приноравливаются к священным книгам и традиционным представлениям и угодничают перед хранителями преданий и религиозных догм.
И не случайно взгляды Ариабаты встретили решительное осуждение не только в кругах жречества, свято оберегающего незыблемость «божественного откровения», но и ученых, стоявших на ортодоксальных позициях и угодничавших перед брахманами. Уже Варахамихира вначале VI в. Опровергал теорию Ариабаты о вращении Земли вокруг своей оси, позднее еще более решительно выступил Брахмагупта (VII в.н.э.) и другие средневековые астрономы и астрологи.
Варахамихира в своем труде «Панчасиддхантика», имея в виду Ариабату, писал: «Другие говорят: Земля вращается, но не созвездия. Но если бы это было так, то птицы и другие не возвратились бы с небес к своим местам обитания». «Если Земля двигается, - отмечал Брахмагупта,- то почему же тогда не падают высокие предметы». Эти учения придержи-вались традиционного брахманского взгляда о вращении звезд вокруг священной горы Меру; они считали, что Земля остается неподвижной, а Солнце, Луна и другие планеты вращаются вокруг нее. На протяжении многих столетий, начиная уже с ведийской эпохи (II тыс. до н.э.), жрецы-брахманы оберегали незыблемость мифа о пахтании океана и демоне Раху.
Концепция Ариабаты о вращении Земли вокруг своей оси настолько противоречила традиционным взглядам, была столь смелой в условиях возрастающего влияния религиозных идей индуизма, что даже астроном Лалла (VIII в.) – один из его последователей – отказался от нее и поддержал общепринятую брахманскую трактовку, а комментатор «Ариабатии» Парамешвара (конец X IV - начало XV вв.) даже менял текст сочинения Ариабаты, чтобы доказать, что тот никогда не выступал с идеей вращения Земли.
По словам Бируни, Брахмагупта отбрасывал правду и поддерживал ложь, был ослеплен в своей ненависти к Ариабате, упрекая его за отход от концепций, изложенных в священных брахманских «законах» - смрити. Наиболее ранние математические сведения в Индии относятся к эпохе цивилизации Хараппа (середина III тыс. до н.э.). До нас не дошли тексты математического характера, но сохранившиеся надписи пока не расшифрованы. Поэтому об уровне математических знаний в ту эпоху можно судить лишь косвенно, в основном по результатам археологических раскопок.
Древние индийцы считали десятками, о чем свидетельствуют насечки на сохранившемся инструменте для измерения длины. Числа обозначались штрихами-зарубками. Такие за-рубки обнаружены на каменных кольцах, из которых строились колонны, поддерживающие кровлю жилищ. Были обнаружены числа от 1 до 9, которые обозначались с помощью вертикальных или горизонтальных штрихов, причем таких штрихов было столько, сколь-ко единиц в данном числе. Для удобства подсчета числа от 5 до 7 состоят из двух групп, а число 9 из трех групп зарубок, отстоящих друг от друга на небольшом расстоянии.
Некоторые игры, найденные в городах долины Инда, требовали применения игральных костей. До нас дошла самая древняя в мире игральная кость – кубик, значительно больших размеров, чем те, которые применяются сейчас: с каждой стороны у него ямочками обозначены числа – от одного до шести. Широкое распространение имели гири. Исследования показали, что между гирями существовала система весовых отношений, основанная на удвоении для небольших гирь и на умножении на 10 и на 100 для более крупных. Строгое соотношение сохранялось и между длиной, шириной и высотой кирпичей, из которых строились здания. Эти размеры соотносились, как 1:2:4 или как 1:3:9.
Следующие сведения, о математических и космогонических представлениях индийцев, относятся ко II тыс. до н.э. – к ведийскому периоду. В эту эпоху Вселенная считалась раз-деленной на три различные части – Землю, воздушное пространство и небо. Строфы «Ригведы», древнейшей и наиболее значительной из четырех священных книг-вед, дают понять, какое важное значение имеет Солнце – Сурья – для жизни природы.
В ведийский период имелись представления о Солнце, Луне, пяти известных в древности планетах – Марсе, Меркурии, Юпитере, Венере, Сатурне, фазах Луны, «накшатрах» - лунных стоянках. Веды породили большое число комментариев, которые составлялись в течение многих веков. Математические сведения лучше всего представлены в «Шульбасутре», которая дошла до нас в нескольких редакциях и датируется серединой I тыс. до н.э.
В этот период широкое распространение получила десятеричная нумерация; существова-ли специальные названия для достаточно больших степеней десяти. Эти наименования порой образовывались с помощью аддитивного, субтрактивного и мультипликативного принципов, которые позднее стали необходимыми компонентами при создании позици-онной системы счисления. Большой интерес представляют собой действия с иррацио-нальными числами, их складывали и умножали как обычные величины.
В этот период индийцы умели решать полное и неполное квадратное уравнение, находили решения некоторых частных случаев неопределенных уравнений первой и второй степеней. Им были известны также приемы построения прямого угла, квадрата, прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами, построение из них трапеций, преобразования прямоугольника в равновеликий квадрат, построения квадрата, равновеликого сумме или разности двух данных квадратов. Во многих построениях применялась теорема Пифагора.
В конце I тыс. до н.э. и впервые века н.э. шло интенсивное развитие астрономии и математики, которое получило завершение в трактате Ариабаты. «Ариабатия» - сравнительно небольшое сочинение. Оно содержит 118 строф и написано в традици-онной для индийцев манере – нерифмованными стихами. Стихотворная форма изложения способствовала лучшему запоминанию правил. Трактат состоит из четырех частей: дашагитика – система обозначения чисел (10 строф), Ганитапада – математика (33 строфы), Калакрийапада – определение времени (25 строф), Голапада – небесная и земная сферы (50 строф).
Математическая часть трактата, очень разнообразная по структуре, содержит много пло-дотворных идей, подхваченных и развитых последующими учеными, как в самой Индии, так и за ее пределами. Это первое дошедшее до нас специальное математическое сочине-ние индийцев; часть математических правил дошла до нас именно в изложении Ариаба-ты. Математические вопросы содержатся не только в специальной второй части, но нахо-дятся и во всех остальных разделах.
Никаких сведений о том, как были получены правила, никаких доказательств в трактате нет. Изложение предельно лаконично, все правила даются в форме рецептов и советов. Лишь изредка правила содержат намек на вывод. В этом отношении трактат Ариабаты не является исключением среди работ средневековых математиков не только Индии, но и ученых стран Ближнего и Среднего Востока и средневековой Западной Европы, которым свойственна рецептурная форма изложения материала.
«Ариабатия» содержит многочисленные вопросы арифметики, алгебры, геометрии, тео-рии чисел, тригонометрии. В дальнейшем, воспроизводя некоторые его правила, мы будем пользоваться современной математической символикой. Величайшим достижением индийских ученых было создание десятичной позиционной системы счисления, отдельные компоненты которой были и в других культурных ареалах, но только в Индии она нашла свое полное завершение.
Первые правила в этой системе встречаются именно у Ариабаты – это правила из-влечения квадратного и кубичного корней. Примечательно, что прием извлечения корней, которым пользуются сегодня в математике, по существу, не отличается от излагаемого Ариабатой. Некоторые частные особенности его выкладок сохранялись в арабской математике. Начиная с Ариабаты, правила и примеры на арифметическую прогрессию встречаются в большинстве индийских математических сочинений.
Он знал правила для вычисления любого по порядку члена, суммы и числа членов ариф-метической прогрессии. Интересно, что при выводе формулы числа членов ему приходится решать полное квадратное уравнение. В «Ариабатии» приводятся правила суммирования натуральных квадратов и кубов, некоторых других рядов, которые, впрочем, были ранее известны вавилонянам и грекам.
Огромный вклад внес Ариабата в развитие теории чисел и его важного раздела – решение неопределенных уравнений. Первый толчок к разрешению этой проблемы в Индии сооб-щили календарно-астрономические задачи, в которых нужно было определить периоды повторения одинаковых относительных положений небесных светил – Солнца, Луны, планет, с различными периодами обращения, и другие с ними связанные проблемы. Зада-ча сводится к отысканию целых чисел, дающих при делении на данные числа данные ос-татки, т.е. удовлетворяющих неопределенным линейным уравнениям и их системам.
Неопределенными уравнениями занимался греческий математик Диофант (III в.н.э.), ко-торый искал лишь рациональные решения. Начиная с Ариабаты, индийцы искали решение этих уравнений в целых положительных числах, что являлось значительно более сильным требованием. Вряд ли здесь можно говорить о прямом греческом воздействии на индийцев – ученые двух культур пришли к теоретико-числовым задачам, исходя из разных проблем, да и сами методы были различные.
Скорее можно говорить о связях индийцев с математиками древнего Китая, которые так-же пришли к решению неопределенных уравнений из нужд астрономии и задач на остат-ки, и тоже искали целочисленные решения. Интересны тригонометрические проблемы, изложенные в «Ариабатии». В своих исследованиях по тригонометрии индийцы, по-видимому, опирались на труды ранних эллинистических астрономов, у которых была раз-вита тригонометрия хорд.
Однако индийцы заменили хорды синусами, что позволило им ввести различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Они рассматривали линию синуса АВ, линию косинуса ОВ и линию ВД, получившую позднее в Европе название синуса-верзуса. Индийцы делили круг вначале на 360 частей, а затем еще на 60, в итоге круг делился на 21600 частей. Таким образом, за единицу измерения линий синуса, косинуса и синуса-верзуса принималась дуговая минута.
Наиболее ранняя таблица синусов имеется в «Сурье-сиддханте» и в первой части «Ариа-батии» (часть 1, правило 10). Таблица составлена через каждые 3°45′=225′, т.е. через 1/24 часть дуги квадранта. Для составления этой таблицы необходимо знать 5 значений синуса, а именно: синус 18°, синус 30°, синус 36°, синус 45°, синус 60°. Значения этих ве-личин легко получить, используя радиусы правильных многоугольников, имея при этом в виду, что sin a=R sin a.
В конце VIII в. «Ариабатия» была переведена на арабский язык под названием «Зидж ал-Арджабхар»: на этот перевод ссылается, в частности, Бируни. В эти же годы на арабский язык были переведены также два сочинения Брахмагупты (VII в.), в которых нашли свое отражение ряд математических и астрономических идей Ариабаты. Позднее при перево-дах на латынь арабских научных сочинений ряд идей Ариабаты стал достоянием западно-европейских ученых.
Таким образом, научный гений Ариабаты оказал влияние не только на развитие математики и астрономии в Индии, но способствовал развитию отдельных направлений точных наук в эпоху Средневековья в странах Востока и Западной Европы.
ВЫВОДЫ
Пифагор жил в VI- V вв. до н.э. Ариабата же родился в– 476 г. н.э. т.е. на тыся-чу лет позже времени, в котором жил Пифагор. В то же время, знания греческой, вавилонской и египетской школ философии могли попасть в Индию и с войсками Александра Македонского. Ученые относят десятичную систему счисления к III тыс. до н.э. и в это же время нельзя утверждать, что найденные знаки являются именно десятеричной системой счисления.
Считается, что десятеричная система счисления принята только во втором тысячелетии н. э от арабов.. В то время египетская система выставляет свое свидетельство, - Пирамиды, возраст которых определен 10 тысяч лет. Спор философских систем Европы и Азии, не приводит ни к какому результату. До сего времени нет логического построения счетной системы, которой пользовались люди, жившие во III-II тысячелетии до н.э.
Математика на протяжении многих веков остается олицетворением науки и символом мудрости. Первоначальное значение слова «математика» (от греч. mathema - знание, наука). По мнению многих современных ученых математика является основополагающей дисциплиной всех существующих в современном мире наук. С этим мнением соглашается большинство ученых, у которых разногласия существуют по поводу источников знаний, или скорее о первоисточнике, с какой стороны пришли к нам знания о математике из Греции или из Индии, в какой из этих стран впервые зародились зачатки числовых систем, которыми сейчас пользуется весь мир?
Пифагор – едва ли не самый популярный ученый не только в древности, но и в наши дни. Говорят, что благодаря гениальной интуиции пифагорейцам удалось сформулировать два тезиса, общую значимость которых подтвердило все последующее развитие науки: во-первых, что основополагающие принципы, на которых стоит мироздание, можно выразить на языке математики. Во-вторых, что объединяющим началом всех вещей служат числовые отношения, которые выражают гармонию и порядок природы. Таким образом, определяет роль Пифагора в современной науке американский математик М.Клайн.
Так что же такое математика и в чем ее особенность? «Математика – это больше, чем наука, это язык» - определяет место математики в системе наук знаменитый датский физик Нильс Бор (1885-1062). Математика может быть языком любой науки, умеющей на нем разговаривать. В этом универсальность и могущество математики, но в этом и особая красота математики, выделяющая ее среди других наук. Ибо всякий язык красив уже сам по себе, как средство общения.
Математика – это особое средство общения: она помогает найти общий язык служителям разных наук и, что еще важнее, она помогает ученому «разговаривать с природой». Так волны на воде, звуковые волны и радиоволны описываются на языке математики одним и тем же дифференциальным уравнением, известным под названием волнового уравнения. Таким образом, в математике находит выражение важнейший критерий научной красоты – единство в многообразии.
Математика раскрывает перед человеком красоту внутренних связей, которые существу-ют в природе, и указывают на внутреннее единство мира. То, что именно в математике достигается в наивысшей форме единство в многообразии, а, следовательно, и наибольшая красота в науке, отмечал в статье «Смысл и значение красоты в точных науках» В. Гейзенберг: «Понимание всего богато окрашенного многообразия явлений достигается путем осознания присущего всем явлениям объединяющего принципа форм, выражаемого на языке математики. Таким же образом устанавливается тесная взаимосвязь между тем, что воспринимается как прекрасное, и тем, что доступно пониманию лишь с помощью интеллекта».
Язык математики – это особый язык науки. В отличие от естественного языка (русского или английского), который в основном классифицирует предметы и потому является языком качественным, язык математики, прежде всего количественный. Количественный язык представляет собой дальнейшее развитие и уточнение обычного качественного языка, но он не исключение, а скорее дополняет последний.
Важнейшим преимуществом количественного языка математики является краткость и точность. В этом его огромное преимущество и в этом его красота, ибо именно в математическом языке претворяется один из основных признаков красоты в науке: сведение сложности к простоте. Всем известно, что с помощью математического языка – функций, уравнений, формул – точно и кратко описываются самые разнообразные свойства и явления, происходящие в природе и обществе.
Итак, математика – это не только самостоятельная наука о «математических структурах», но и язык других наук, язык единый, универсальный, точный, простой и, следовательно, красивый, Хорошо сказал об этих качествах математики наш современник, замечательный советский математик С.П.Соболев, в 31 год ставший академиком: «Есть одна наука, без которой невозможна никакая другая.
Это математика. Ее понятия, представления и символы служат языком, на котором говорят, пишут и думают другие науки. Она объясняет закономерности сложных явлений, сводя их к простым, элементарным явлениям природы. Она предсказывает и пред вычисляет далеко вперед с огромной точностью ход вещей». Последнее свойство математики, о котором говорит Соболев, дающее возможность «выспрашивать» у природы ее тайны и позволяющее делать потрясающие воображение открытия «на кончике пера», ставит математику в исключительное положение среди наук.
«Для нас, чьи плечи ноют под тяжестью наследия греческой мысли, кто идет по стопам героев эпохи Возрождения, цивилизация немыслима без математики», - Анри Вейль, французский математик. «Музыка может возвышать или умиротворять душу, живопись – радовать глаз, поэзия – пробуждать чувства, философия – удовлетворять потребности разума, инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей. Но математика способна достичь всех этих целей». - Морис Клайн, американский математик.
Однако возникает новый вопрос. Если наука, а тем более математика так богаты собственной немеркнущей красотой, то почему многие крупнейшие ученые, едва только речь заходит о "прекрасном", непременно обращаются к искусству? Таким образом, мы подходим к интереснейшей и захватывающей теме, проблеме взаимодействия науки и искусства, происходящего в окружающем нас мире.
Что же известно о Пифагоре? Пифагор древнегреческий мыслитель, религиозный и политический деятель, основатель цифратореизма, математик. Пифагору приписывается изучение свойств целых чисел и пропорций, доказательство теоремы Пифагора и др. Родился Пифагор на острове Самос, расположенном в Эгейском море у берегов Малой Азии, около 570 г. до н.э. Остров Самос известен пробитым под горою Кастро туннелем, по которому проходил водопровод, снабжающий город Самос питьевой водой. Туннель строился с двух сторон, причем расчеты, были настолько точными, что оба хода сошлись под горой с незначительной ошибкой.
Самосский туннель, построенный около 530г. до н.э., свидетельствует о высоком уровне знаний математики строителями того времени и смелом ее применении. Подлинно новым и революционным в пифагорейской научной системе явилось учение о числе. В числовых отношениях, т.е. в математике, видели пифагорейцы сущность мировой гармонии, ключ к разгадке всех тайн природы, окруженных ореолом мифологии.
Пифагорейская наука была еще слишком близка к мифологии, чем и объясняется царившее в ней «мифологическое начало». Но то, что в математических свойствах пифагорейцы увидели сущность явлений природы, то, что в основе разнородных процессов они обнаружили некоторую пропорциональность, закономерность, выражаемую числом, было выдающимся научным завоеванием. «Подобно тому, как число подчинено определенным законам, так подчинена им и вселенная; этим впервые высказывается мысль о закономерности вселенной»,- так характеризовал роль пифагорейского учения о числе Ф.Энгельс.
ПИФАГОР
Много разных легенд дошло до наших дней о рождении Пифагора. Некоторые из них утверждают, что он был одним из богов, принявших человеческий облик для того, чтобы войти в мир и учить человеческую расу. Пифагор был одним из многих мудрецов древности, за кем утвердилась репутация "безупречного" во всем человека.
Исследователи древности М.П.Холл, Х.Редгроув Г.Хиггинс описывают предполагаемые отрезки жизни Пифагора, показывая всю значимость его творения дошедшего из глубины прошедших веков до наших дней. В своем «Апокалипсисе» Годфри Хиггинс пишет о том, что странным образом происходят совпадения истории жизни Пифагора с жизнью Иисуса. Они были уроженцами почти одной и той же местности. Пифагор родился в Сидоне, а Иисус в Вифлееме, оба города в Сирии.
Отец Пифагора, как и отец Иисуса, был пророчески извещен о том, что у него родится сын. Оба родились в то время, когда их родители были вне дома. Иосиф и его жена были на пути в Вифлеем для уплаты налогов, а отец и мать Пифагора путешествовали из Самоса, своей резиденции, в Сидон по делам. Пифазис, мать Пифагора, имела соитие с духом бога Аполлона, или Бога Солнца (В случае с Иисусом был Святой Дух), который впоследствии явился к ее мужу и сказал ему, что тот не должен спать с женой все время ее беременности – история та же самая, по сути, что случилось с Иосифом и Марией.
Из-за этих обстоятельств Пифагор был известен под тем же именем, что и Иисус, а имен-но как сын Бога, и люди верили, что Он был Божественно вдохновлен». Пифагору приписывается путешествие по странам Востока. Он спускался в знаменитую пещеру Крита, с которой греки связывали миф о сотворении богов, был в Египте, где якобы попал в плен к персам и был увезен в Вавилон, и это сыграло определенную роль в судьбе Пифагора: Считается, что у халдейских мастеров Пифагор постиг знания математики, так как есть взаимосвязь вавилонской математики и математики Пифагора.
Существует предположение, что Египетские жрецы и вавилонские халдеи привили также Пифагору пристрастие к восточным таинствам, магии и числовой мистике. Согласно преданию, на сороковом году жизни Пифагор поселился в городе Кротоне. В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозно-этического братства или тайного монашеского союза, члены которого обязывались вести так называемый пифагорейский образ жизни. Это был одновременно и религиозный союз, и политический клуб, и научное общество.
Наследие Пифагора огромно, а система жизненных принципов и правил, проповедуемая Пифагором, и сейчас достойна подражания. Так, Пифагор учил: «беги от всякой хитрости, любым орудием отсекай от тела болезнь, от души – невежество, от утробы – роскошество, от семьи – ссору, от всего, что есть – неумеренность». Пифагор предписывал чтить "старейших", «ибо всюду предшествующее почетнее последующего». Пифагор высоко ценил дружбу, считая, что у друзей все общее и что друг – это второе я.
Ритуал посвящения в члены пифагорейского братства был окружен множеством таинств, разглашение которых сурово карались. Но и попав в школу после строгого отбора и испытательного периода, новички могли только из-за занавеса слушать голос Учителя, видеть же его самого разрешалось только после нескольких лет аскетической жизни. «Стремление уйти от мира, замкнутая монашеская жизнь, вегетарианство и общность имущества встречались у многих сект.
Но что отличало пифагорейцев от всех других – это способ, при помощи которого они считали возможным достигнуть очищения души и соединения с божеством; это делалось именно при помощи математики. Математика была одной из составных частей их религии». Это меткая характеристика пифагорейского братства принадлежит известному голландскому математику и историку науки Б.П. Ван дер Вардену.
Эзотерические учения всегда носили тайный характер и не излагались письменно, поэтому и не сохранилось никаких письменных трудов самого Пифагора. В математике, в по-знании количественных отношений, видели пифагорейцы ключ к разгадке мировой гармонии, постижение которой и составляло смысл их жизни. Пифагорейцы верили в бессмертие души и переселение души человека в животных. Поэтому они полагали, что по-священные в тайны всеобщей гармонии, т.е. стремление к истине, приближает душу человека к божеству, создавшему эту гармонию, вследствие чего душа сможет освободиться от дальнейших перевоплощений.
Обет молчания, даваемый пифагорейцами, на современный лад означает «держи язык за зубами». Здесь существует принципиальная преемственность: Сначала молчит ученик, затем молчит учитель. Пифагорейцы имели ряд знаков и символов, которые были своего рода заповедями, например: «через весы не шагай», т.е. не нарушай справедливости; «огня ножом не вороши», т.е. не задевай гневных людей обидными словами; «не ешь сердца», т.е. не подтачивай душу страстями или горем.
Тайны древних Мистерий никогда не открывались профанам, разве что посредством символики. Символы выполняют двойную роль, сокрытия священных истин от непосвященных и в то же время открытия этих истин тем, кто понимает символизм. Со временем многие Мистерии были извращены, колдовство занимало место божественной магии. В обиход вошла практика вакханалий, инициированные служители Мистерий, пытаясь спасти секретные доктрины, помещали свои знания в самых различных местах, но по большей части тайна была «официально» утеряна и от многих Мистерий осталась одна пустая оболочка.
Часть мистических действий перешла в ритуалы религиозных практик. Например, традиция поминания умершего, где в третий, девятый и сороковой дни следует читать по усопшему особую кафизму (в неё входит один 118-й псалом), называемую поминальной. Считается, что на третий день разрушается оболочка.
Если поминки (третий, девятый, сороковой день, годовщина) приходятся на время Вели-кого поста, то в первую, четвертую и седьмую неделю поста родные и близкие усопшего на поминки никого не приглашают. Эти недели особенно строгие. Допускается присутствие за столом лишь самых близких родственников: мать или отец, жена или муж, дети или внуки. Так ритуальные особенности Древних Мистерий показывают человеку Гармонию взаимного существования всех Природных явлений.
Главным пифагорейским символом и опознавательным знаком – была пентаграмма или пифагорейская звезда – звездчатый пятиугольник, образованный диагоналями правильно-го пятиугольника. Звездчатый пятиугольник обладает замечательными математическими свойствами. Он содержит все пропорции, известные пифагорейцам: арифметическую, геометрическую, гармоническую и так называемую золотую. Видимо, поэтому пентаграмма и была выбрана в качестве пифагорейского символа.
Нарисованная пентаграмма была тайным знаком, по которому пифагорейцы узнавали друг друга. Однако в первоначальном виде пифагорейский союз просуществовал недолго и к концу VI века (ок. 510 г. до н.э.) подвергся кровавой распре. Пифагорейцы бежали из Кротона в другие города, что во многом способствовало распространению учения Пифагора по всей Греции и даже за ее пределы. Сам Пифагор удалился в город Метапонт, расположенный неподалеку от Кротона, где и провел остаток своей жизни.
Смерть Пифагора также окружена красивыми легендами. По одной из них, дом в Кротоне, где Пифагор собирался со своими учениками, был подожжен. Преданные друзья бросились в огонь и проложили в нем дорогу учителю, чтобы он по их телам вышел из огня, как по мосту. Друзья погибли, а сам Пифагор, будучи спасенным, столь высокой ценой, так затосковал, что лишил себя жизни. Умер Пифагор около 500 г. до н.э.
Фрэнк Хиггинс, дает отличную сводку пифагорейских доктрин: «Учение Пифагора имеет огромную важность для масонов, потому что оно было результатом его контактов с ведущими философами всего цивилизованного мира того времени и представляло то, в чем они все были согласны, вырвав с корнем все сорняки разногласий. Таким образом, аргументы Пифагора в защиту чистого монотеизма являются достаточным свидетельством того, что единство Бога было высшим секретом всех древних инициаций. Гипотеза о том, что эта традиция была доминирующей, может считаться оправданной.
Философская школа Пифагора была в известной мере так же серией инициаций, поскольку он заставлял учеников проходить через различные ступени и никогда не вступал с ни-ми в личный контакт, пока они не достигали определенной степени совершенства. Со-гласно его биографам, степеней было три. Во-первых, это касалось «Математики» - его ученикам вменялось в обязанность знание математики и геометрии, которое было тогда и могло бы быть сейчас, если бы масонство было должным образом внедрено, основанием, на котором воздвигалось все знание.
ОСНОВЫ ПИФАГОРЕИЗМА
Учение пифагорейской школы считается утраченным и вновь воссозданным по имеющимся источникам информации о философах пифагорейцах и той научной базовой основы, которой они располагали. Принципы пифагорейской школы восстановлены по ссылкам на учение Пифагора в работах Аристотеля, Платона, Сократа и других древнегреческих философов.
Пифагорейская школа занималась изучением геометрии, музыки и астрономии. Это считалось существенным для понимания Бога, человека или Природы. Каждый претендент проверялся по этим трем предметам, и, если обнаруживалось его невежество, он не входил в состав учеников посвящаемых на более высокие уровни.
Пифагор не впадал в крайности. Он учил скорее умеренности во всех вещах, нежели излишеству в чем-либо, поскольку полагал, что избыток добродетели – уже порок. Одним из его любимых выражений было: «Мы должны всеми силами стремиться к истреблению во всех вещах излишеств и огнем и мечем изгонять из тела болезни, из души – невежество, из живота – обжорство, из городов – призывы к бунту, из семьи – раздоры».
Пифагор верил, что нет большего преступления, нежели анархия. Все люди знают, чего они хотят, но мало кто знает, что ему нужно. Считается, что богом Пифагора была Монада, или Единое, которое есть Все. Он описывал Бога как Верховный Ум, рассредоточенный по всем частям Вселенной, как Причину всех вещей, Разум всех вещей и Силу всех вещей. Он далее говорил, что движение Бога является круговым, тело Бога состоит из световой субстанции, а природа Бога должна состоять из субстанции истины.
Все философы древности одновременно были и врачами. Эти люди знали так же волшебные свойства огромного числа растений. Пифагорейцы так же практиковали врачевание и лечили людей разными методами. Пифагор открыл, что музыка может иметь терапевтическое значение, и составлял различные специальные гармонии для различных болезней. Он экспериментировал также с цветом и как будто достиг больших успехов. Один из его уникальных методов лечения заключался в рекламировании стихов из «Илиады» и «Одиссеи» Гомера, их нужно было читать больному человеку.
Пифагор верил, что человеческие отношения являются по своей природе больше умственными, нежели физическими, и что незнакомец, ему симпатичный с интеллектуальной точки зрения, ближе к нему, нежели кровный родственник, не разделяющий его точку зрения. Пифагор определял знание как плоды умственного накопления. Он считал, что оно может быть добыто множеством путей, но главным считал наблюдение.
Мудрость есть понимание источника или причины всех вещей, и может быть достигнута только поднятием интеллекта до той точки, где он интуитивно осознает невидимые про-явления, направленные через "видимое", становясь, таким образом, способным к общению скорее с духами вещей, нежели с их формами. Окончательным источником, который дол-жен быть постигнут мудростью, была Монада, таинственный вечный атом пифагорейцев.
Пифагор верил, что все сидерические тела являются живыми и что формы планет и звезд являются просто телами душ, умов и духов точно так же, как видимая человеческая форма является носителем невидимого духовного организма, который и есть в реальности сознающий индивид. Пифагор считал планеты волшебными божествами, достойными поклонения и уважения человека. Все эти божества, однако, с его точки зрения, подчинены «Первой Причине», внутри которой они существуют временно так, как смертность существует посреди бессмертия.
Знаменитая пифагорейская Y означала силу выбора и использовалась в Мистериях как эмблема Развилки Пути. Символический знак интеграции и числовой показатель пентаграммы! Половина! Точка готовности («точка сборки» по Кастанеде) или точка бифуркации в терминологии современной физики. Основные принципы учения пифагорейской школы составляют основу розенкрейцеровских и масонских знаний, а также всех эзотерических направлений и более подробно описаны в энциклопедии М. П. Холла.
1 и 2 не считались числами у пифагорейцев, потому что они представляют две над-мирские сферы. Никто об этом точно не знает и считается, что Пифагорейские числа начинаются с 3, треугольника, и 4, квадрата. Сложенные между собой и плюс 1 и 2, они дают число 10, великое число всех вещей, архетип Вселенной. Три мира были названы вместилищами. Первый был вместилищем принципов, второй – разума, а третий – низший – вместилищем количества.
«Симметричные геометрические тела имели для пифагорейцев и последующих греческих мыслителей величайшее значение. Для того чтобы быть совершенно симметричным, геометрическое тело должно иметь равное число граней, встречающихся в углах, и эти грани должны быть правильными многоугольниками, то есть фигурами с равными сторонами и углами. Пифагор, вероятно, был первым, кто сделал величайшее открытие, что есть толь-ко пять таких тел.
Далее греки полагали, что мир состоит из четырех элементов: земли, воздуха, огня и воды, - и греческий ум неизбежно пришел к заключению, что формами частиц или эле-ментов были правильные геометрические тела. Земные частицы были кубами, и куб, будучи правильным геометрическим телом, обладал величайшей устойчивостью. Огненные частицы были тетраэдрами; тетраэдр был простейшим из правильных тел и поэтому самым легким.
Водные частицы были икосаэдрами в силу того же принципа, и воздушные частицы, будучи промежуточными между двумя последними, были октаэдрами. Додекаэдр для античных математиков был наиболее таинственным из всех геометрических тел. Его труд-нее всего было сконструировать, одной из причин чего была необходимость аккуратно вычерчивать пятиугольник, пентагон, используя при этом великую теорему Пифагора. Отсюда и заключение Платона о том, что «это (правильный додекаэдр) Божество использовало для планирования Вселенной».
В большинстве своем пифагорейцы, имеющие математические знания участвовали в расчетах, производимых при измерении земельных участков и строительных работах, там, где требовалось делать точные вычисления. Впоследствии эти знания были утрачены и «переоткрыты» современными мастерами. Например, архитектор И.Ш.Шевелев использовал парные меры (два эталона длины) a и b, которые позволяли устанавливать одинаковые отношения между отдельными парами архитектурного сооружения a : b = nа : nb (n=1,2,3,…).
Величинами в качестве парных мер выступали в данном случае геометрические объекты: сторона и диагональ прямоугольника. Зачастую основной задачей геометрии было измерение площадей земельных участков, методом приложения, суть которого состояла в следующем. К измеряемому прямоугольнику прикладывается эталон площади (как правило, квадрат). В прямоугольнике, образованном стороной эталона и стороной измеряемого участка, проводилась диагональ до пересечения с продолжением второй стороны эталона.
Получалось три прямоугольника. Два из них, через которые прошла диагональ, подобны, а третий равновелик эталону. Сторона равновеликого прямоугольника и служила линей-ной мерой для определения площади. Так измерение площади сводилось к простому под-счету числа линейных мер в стороне измеряемого прямоугольника. Так сторона и диагональ прямоугольника становились основными инструментами древних землемеров – математиков.
Философ, занимающийся математическими расчетами, одновременно был архитектором, когда интуиция и расчет были непременными спутниками зодчего. Архитектура триедина: она извечно сочетает в себе логику ученого, ремесло мастера и вдохновение художника. «Прочность – польза - красота» - такова знаменитая формула единого архитектурного целого, выведенная два тысячелетия тому назад древнеримским теоретиком зодчества Витрувием (I в. До н.э.).
Роль математики в формировании «прочности» и «пользы» архитектуры очевидна. За всю историю человечества построено только 4 сооружения, имеющихся каменных купола диаметром более 40 м! Это Пантеон в Риме (123), собор Санта-Мария дель Фьоре во Флоренции (1434), Собор Св. Петра в Риме (1590) и мавзолей ГолГумбаз в Биджапуре (Ин-дия, 1656). Только через тысячу с лишним лет люди повторили достижение древнеримских строителей. Точнее, только приблизительно к нему, ибо купол Пантеона диаметром 43 м. видимо, навсегда останется самым большим каменным сводом.
Прочность не случайно стоит на первом месте формулы архитектора Витрувия. Самый первый строительный кодекс, составленный в царствование вавилонского царя Хамураппи за 1800 лет до нашей эры, гласит: «Если строитель построил дом для человека, и работа его не крепка, и дом, построенный им, обвалился и убил владельца, то строитель сей должен быть казнен». (Эта запись вытесана на колонне, ныне хранящейся в парижском Лувре).
Величие и особую красоту, строительных конструкций вызывают египетские пирамиды, прочность которых недосягаема, ибо в условиях земного тяготения пирамида является наиболее устойчивой конструкцией, способной существовать в веках, без риска обвалиться, или рассыпаться. Главное правило устойчивости конструкции – уменьшение ее массы по мере увеличения высоты над землей – выражено в пирамиде с предельной ясностью и симметрией.
Конструкция древнеегипетской пирамиды является самой простой, прочной и устойчивой. Вес каждого верхнего блока пирамиды по всей поверхности передается нижним блокам. Форма пирамиды представляет полное единство с ее конструкцией. Однако такая конструкция не создает внутреннего объема и, по существу, не является архитектурной конструкцией.
Простейшей и древнейшей архитектурной конструкцией является стоечнобалочная система. Ее прототипом был дольмен – культовое сооружение, состоящее из двух вертикаль-но поставленных камней, на которые наши предки водрузили третий горизонтальный камень. Назначение дольмена до конца не выяснено. Со временем дольмен перерос в кромлех – сооружение, служившее, по всей видимости, для жертвоприношений и ритуальных торжеств.
Кромлех состоял из огромных отдельно стоящих камней, которые накрывались горизонтальными камнями и образовывали одну или несколько концентрических окружностей. Самый значительный и загадочный кромлех сохранился в местечке Стоунхендж (Англия) и относится к X X – XVII векам до н.э. Есть основания считать, что он был и древней астрономической обсерваторией.
Есть основания выдвинуть в данном случае и другую версию, пользуясь наличием функциональных способностей сооружения, - быть определенного вида временного жилого строения. Когда перекинутая через верхнюю балку дольмена веревка позволяет соорудить крышу и стены для временного помещения.
Гармонию в природе естествоиспытатели видят в целесообразном и совершенном устройстве мироздания, которое находит выражение в «красивых» математических уравнениях и принципах симметрии. Гармонию в архитектуре зодчие рассматривают как сложную иерархическую систему, которая связывает все элементы архитектурной композиции в единое художественное целое и которая проявляется на, законах пропорциональности.
Пропорциональность является наиболее ярким, зримым, объективным и математически закономерным выражением архитектурной гармонии. Пропорция – это математическая закономерность, прошедшая через душу зодчего, это поэзия числа и геометрия в его архитектурном языке.
Считалось, что все архитекторы посвящены в определенные тайны ремесла. Вот почему на языке пропорций говорили зодчие всех времен и всех архитектурных направлений: древние египтяне и древние греки, средневековые каменотесы и древнерусские плотники. Все они, к сожалению, не сохранили для потомков секреты своих пропорций. Единственное дошедшее до нас античное сочинение о зодчестве – это труды Витрувия «Десять книг об архитектуре», время написания которых относят к 27-14 гг. до н.э. Книги были случайно обнаружены через тысячу лет, в 1414 г., в монастыре Сен-Галлен в Италии.
Археологи изредка находят инструменты древних мастеров. Например, в Неаполе, в Национальном музее, хранится пропорциональный циркуль, найденный при раскопках в Помпеях. Кроме помпейского, особый интерес представляет циркуль из Музея терм в Риме. Он так же имеет длину вполовину римского фута – 146 мм. Но он настроен на другую иррациональную пропорцию.
Считается, что пятиконечной звезде, которая содержит все древние «средние», – около 3000 лет. Ее первые изображения донесли до нас вавилонские глиняные таблички.
Из Древней Вавилонии в Средиземноморье, как полагают, звездчатый пятиугольник перевез Пифагор и сделал его тайным опознавательным знаком. В середине века пентаграмма использовалась колдунами и магами и «предохраняла» от «нечистой силы», что, впрочем, не мешало называть ее «лапой ведьмы». Разделив окружность с помощью метода Птолемея, где отрезок дает сторону правильного десятиугольника на 10 равных частей, соединяя подряд точки деления окружности, получим правильный десяти-угольник, а соединяя точки деления через две, - звездчатый десятиугольник.
Внутри звездчатого десятиугольника вновь образуется правильный десятиугольник, в который можно вписать новый звездчатый десятиугольник, и т.д. Проведя радиусы в вершины десятиугольников, легко увидеть (именно увидеть глазами) целое созвездие пяти-конечных звезд. А зная свойства последних, мы предчувствуем обилие золотых пропорций, образующих ряд золотого сечения. 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,…,Эта последовательность имеет древнюю историю.
Она впервые была описана в 1202 г. в «Книге об абаке» итальянским купцом и математиком Леонардо из Пизы, известным более по его прозвищу – Фибоначчи – сын доброй природы. С тех пор последовательность называется рядом Фибоначчи, а ее члены – числами Фибоначчи. «Книга об абаке» Фибоначчи была своего рода математической энциклопедией средневековья и сыграла заметную роль в развитии математики в Европе. В 1843 г., через 641 год после открытия ряда Фибоначчи, определяемого рекуррентно через сумму двух предыдущих членов ряда, французский математик Ж.Бине нашел формулу для вычисления n-го члена ряда Фибоначчи как функции его номера.
Ряд золотого сечения и тесно связанный с ним ряд Фибоначчи обладают массой исключи-тельных математических свойств, которые нашли отображение в живой природе. К на-стоящему времени накоплено множество фактов, показывающих, как ряд Фибоначчи про-является в формах живой природы как закон единообразного роста. Ряд Фибоначчи обнаружен и в расположении семян подсолнечника или сосновой шишки, и в распределении листьев и хвои на деревьях, и в расположении стеблей.
У человека просматриваются те же аналогии: - пуп человека – делит тело человека в золотом сечении. Возьмите линейку и измерьте длину трех фаланг среднего пальца и пясти. Поделив эти числа на длину первой фаланги, вы с поразительной точностью обнаружите 4 члена ряда золотого сечения: 1, Ф=1,618, Ф²=2,618 , Ф³=4,234 «Человек – мера всех вещей…» Этот знаменитый афоризм древнегреческого философа Протагора (ок. 490-ок.420 до н.э.) является ключом к разгадке тайны пропорций Парфенона, его поразительной гармонии и спокойствия.
Как это ни парадоксально, но между живыми линиями человеческого тела и застывшими на тысячелетия каменными очертаниями древнего сооружения существует глубокая связь, выраженная в математических законах пропорциональности. Пифагореец Поликлет пока-зал, что золотая пропорция присуща не только абстрактной геометрической фигуре, глав-ному пифагорейскому символу – пятиконечной звезде, но и естественным образом входит в пропорции человека.
Анализ пропорций «Дорифора» и других скульптур Поликлета подтверждает предположения: в скульптурах Поликлета с большой точностью выдержаны пропорции ряда золотого сечения. 1, φ¹,φ²,φ³,φ,φ,φ. Заметим, что в самом методе построения пропорций Поликлета есть принципиальное отличие от метода пропорционирования египтян. Египтяне исходили из какой-то условной единицы измерения, например длины среднего пальца, которую затем целое число раз «укладывали» в ту или иную часть изображения человека.
Поликлет же рост человека принимает за единицу, затем фиксирует определенную часть тела, какова бы она ни была по размерам, и находит их отношение. Такое отношение могло выражаться не только отношением целых чисел, как у египтян, но и быть иррациональным числом, как в случае золотого сечения. Так в архитектуре возникали каноны. Известны три древнеегипетских канона, - первый канон эпохи Древнего царства, приписываемый Имхотепу (ХХVIII в. До н.э.), слагает рост человека из 6 ступней ноги. Второй – эпохи Среднего и Нового царства (X X1 – Х11 вв. до н.э.) разбивает каждую ступню еще на три части и таким образом составляет рост человека из 18 единиц.
Третий канон позднего периода*(*распределение канонов по периодам условно) (ХI – IV вв. до н.э.) складывает рост человека из 21 части с четвертью. Текст египетских канонов не сохранился, хотя в дошедшем до нас каталоге храмовой библиотеки в Эдфу под шестым номером значится трактат «Предписание для стенной живописи и канон пропорций». Легко видеть, как с течением времени усложнялся древнеегипетский канон, хотя и на такие ничтожные для современника «уточнения» потребовалось 2500 лет!
АРИАБАТА
Ариабата, выдающийся индийский философ, о жизни которого имеется очень мало сведений и до нас не дощли даты его рождения и смерти, имеются только сведения, которые Ариабата сообщил сам о себе и его знаменитое сочинение – «Ариабатия». О самом себе Ариабата лишь дважды упоминает в своем трактате. В части I I I (правило 10) он пишет: «Когда прошли три юги и шестьдесят раз по шестьдесят лет, тогда мне истекли 23 года моей жизни».
В период, когда жил Ариабата, в Индии существовало уже несколько самостоятельных школ ваяния, в том числе школа Амаравати, связанная с культурными традициями Цен-тральной и Южной Индии. Самые значительные памятники амараватских скульпторов были обнаружены на территории древней Андхры, куда входила и Ашмака – родина Ариабаты. В течение многих столетий именно с гуптской эпохой связывали расцвет своей древней культуры и сами индийцы.
Местная традиция повествует о том, что при дворе знаменитого гуптского царя Чандрагупты II (конец IV – начало V в. н..э.), носившего почетный титул Викрамадитья – «Солнце могущества» - находились «девять драгоценностей», которые составляли славу древней Индии – писатели, драматурги и поэты Калидаса, Кшапанака, Шанку, Веталабхата, Гхатакарпара, врач Дханвантари, лексикограф Амарасинха, астролог и астроном Варахамихира, грамматик Вараручи.
Это средневековое свидетельство не соответствует реальным историческим фактам: некоторые из перечисленных здесь деятелей литературы и науки жили ранее или позднее царствования Чандрагупты II. Не справедлива эта официальная традиция и в другом: в числе «девяти драгоценностей» мы не находим имени Ариабаты – астронома и математика, но именно он был одним из самых выдающихся ученых гуптской эпохи и оставил глубокий след в развитии древнеиндийской науки в целом.
В своем сочинении Ариабата специально отмечал, что он излагает науку (т.е. астрономию и математику), «которая очень почитается в Кусумапуре» (одно из названий Паталипутры – столицы Гуптской империи). Вполне возможно, что ученый лично посетил Паталипутру – крупнейший культурный центр древней Индии, где ознакомился с астрономическими и математическими трактатами своих предшественников и современников.
Трудно предполагать, чтобы труды Ариабаты могли остаться незамеченными, чтобы при-дворный хронист даже после гуптской эпохи не знал о замечательных научных открытиях своего соотечественника. Чем же объяснить забвение Ариабаты официальной традицией? Случайной или преднамеренной была эта странная «забывчивость» тех, кто составлял список «девяти драгоценностей»?
Самым простым оправданием мог бы являться тот факт, что Ариабата родился в Декане, в области Ашмака, т.е. вдали от центра гуптской империи. В течение многих десятилетий гуптские цари враждовали с правителями Декана, стараясь, часто и не без успеха, распространить свое влияние на эти районы страны. Однако когда в конце V в.н.э. могущественная империя Гуптов стала испытывать серьезные политические трудности, ее правители старались установить дружеские отношения с династией Вакатаков, в государство которых входила и Ашмака – родина Ариабаты
Более того, нам известно о браке вакатакского царевича с дочерью Чандрагупты II Викрамадитьи. В этот период влияние Гуптов резко усилилось, в столицу Вакатаков были даже направлены чиновники из Паталипутры. Заметно оживились культурные контакты Севера и Юга. Поэтому объяснять «ошибку» хрониста отдаленностью Ашмаки или культурной изолированности Декана от Северной Индии в позднегуптский период нет никаких оснований.
В древней Индии, как и в античном мире, шла острая борьба между идеализмом и материализмом. Это противоборство двух кардинально разных мировоззрений оказывало не-посредственное влияние на развитие древнеиндийской науки. «Философия» - светильник всех наук, опора всех установлений»,- писал Каутилья. Научные идеи, выдвигавшиеся ученым, были непосредственно связаны с его философским кредо.
Это особенно ярко проявлялось в астрономических работах. «Астрономия, - писал Бируни, блестящий знаток древнеиндийской науки, - самая знаменитая наука среди индийцев вследствие того, что с ней связаны дела их религии». Ознакомление с трудом Ариабаты – «Ариабатией» и сочинениями других древнеиндийских астрономов, подробно излагавших его идеи, позволяет судить о философской позиции Ариабаты и его последователей.
Ариабате было всего 23 года, когда он написал свой замечательный труд «Ариабатия». О дальнейшей судьбе ученого нам, к сожалению, ничего не известно. Подлинные научные взгляды Ариабаты, несмотря на решительную борьбу с ними официальных брахманских кругов, уже в раннее средневековье нашли в Индии убежденных сторонников: они были приняты и детально аргументированы такими выдающимися астрономами как Бхаскара 1 (VII в.н.э.) и Ватешвара (IX в. Н.э.).
«Истина,- писал Бируни,- на стороне последователей Ариабаты, которые вообще производят впечатления настоящих ревнителей науки». Считается, что Ариабхата изобрёл понятие "нуля", нашел весьма точное значение числа "пи" (62832/20000 = 3.1416) и ввел в тригонометрию функцию (1 - cos x), высказал догадку, что вращение небес - только кажущееся и является следствием вращения Земли вокруг своей оси.
«АРИАБАТИЯ»
Согласно индийской традиции существуют четыре эпохи – юги: Крита (золотой век), трета (серебряный век), двапара (бронзовый век), кали (железный век). По индийским представлениям, последняя эпоха – кали-юга – началась в 3102 г. до н.э. и продолжается до сих пор. В своих исследованиях индийской философии российские ученые Г.М. Бонгард-Левин – («Ариабата») и А.И. Володарский – («Математические идеи Ариабаты») вычислили: Если следовать этой традиции, то 499 г. н.э. будет годом написания «Ариабатии» (по упоминанию Ариабаты, он составил свой труд, когда ему исполнилось 23 года).
Отсюда дата его рождения – 476 г. н.э. О научной значимости этого труда говорит тот факт, что он был объектом изучения и исследования на протяжении многих столетий и с санскрита, был переведен на языки хинди, телугу, малаялам. Философы древней индии считали, что в общении с учеными - корень истинного воспитания. «От обучения появляется понимание, - писал Каутилья, автор древнеиндийского политического трактата «Артхашастра», который по индийским традициям был советником маурийского царя Чандрагупты IV в. До н.э.
Считается, что история древнеиндийской цивилизации насчитывает более трех тысячелетий, но ее золотым веком называют эпоху Гуптов (первая половина IV – середина VI вв. н.э.), которая неразрывно связана с именами таких великих поэтов, писателей и драматургов, как Калидаса, Шудрака, Бхаса, Тируваллувар. «Шакунтала» Калидасы – одно из вы-дающихся произведений мировой литературы.
В астрономическом разделе своего сочинения Ариабата писал: «Сфера Земли, будучи совершенно круглой и окруженная орбитой планет, состоит из земли, воды, огня и воздуха». Ариабата, таким образом, придерживался «концепции 4 элементов, как составляющих частях Земли и ее сферы и тем самым резко расходился с взглядами многих астрономов, которые принимали «концепцию 5 элементов», включая в число элементов эфир (акаша). О 5-ти элементах как составных частях Земли писали Варахамихира, автор «Васиштхасиддханты», астроном Бхаттотпала (Х в.) и др.
Позиция Ариабаты схожа в данном случае с взглядами локаятиков – последователей философской школы древнеиндийских материалистов. Локаятики, как свидетельствуют источники, излагающие суть их учения, решительно отстаивали «концепцию 4 элементов». И категорически отвергали пятый элемент – эфир. Концепция 4 элементов», которую мы находим в труде Ариабаты, является не единственным аргументом, позволяющим поста-вить вопрос о влиянии материалистических идей на взгляды древнеиндийского астронома.
Разбирая взгляды индийских ученых на одну из основных проблем мировоззрения – о сути мироздания, Бируни приводит следующее высказывание Ариабаты и его учеников: «Нам достаточно знать то пространство, которого достигают солнечные лучи, и нам нет нужды в том, куда они не добираются, хотя бы оно было очень велико само по себе. То, до чего не достигают солнечные лучи, не может быть познано чувственным восприятием, а недоступное чувству не может быть познано»
В данном случае совершенно отчетливо выражена последовательно антирелигиозная позиция, которая в древней Индии получила разработку в трудах локаятиков, которые постоянно подчеркивали, что предметом их исследования является чувственно воспринимаемый мир, что лишь доступное анализу бытие способно выступать в качестве подлинного объекта умозаключения. Сверхъестественные явления отрицаются уже потому, что опыт не дает о них никаких свидетельств.
Исходный пункт учения локаятиков – чувственное восприятие как единственный источник подлинного знания о мире. Утверждения же религиозных текстов или официального авторитета ничего не могут прибавить к представлениям, полученным из опыта. «И таково их мнение,- писал Харибхадра,- этот мир существует настолько, насколько воспринимается чувствами».
Показательно, что Каутилья называл локаяту в числе трех философских учений, имевших наибольшее влияние. Источники свидетельствуют, что в период Средневековья позиции локаяты особенно сильны были в Южной Индии. Это дает основание полагать, что и в эпоху Ариабаты в этих же районах – а с ними была связана жизнь ученого – материалистические идеи были весьма популярны. Великий ученый не принадлежал к тем астрологам, которые, по словам Бируни, приноравливаются к священным книгам и традиционным представлениям и угодничают перед хранителями преданий и религиозных догм.
И не случайно взгляды Ариабаты встретили решительное осуждение не только в кругах жречества, свято оберегающего незыблемость «божественного откровения», но и ученых, стоявших на ортодоксальных позициях и угодничавших перед брахманами. Уже Варахамихира вначале VI в. Опровергал теорию Ариабаты о вращении Земли вокруг своей оси, позднее еще более решительно выступил Брахмагупта (VII в.н.э.) и другие средневековые астрономы и астрологи.
Варахамихира в своем труде «Панчасиддхантика», имея в виду Ариабату, писал: «Другие говорят: Земля вращается, но не созвездия. Но если бы это было так, то птицы и другие не возвратились бы с небес к своим местам обитания». «Если Земля двигается, - отмечал Брахмагупта,- то почему же тогда не падают высокие предметы». Эти учения придержи-вались традиционного брахманского взгляда о вращении звезд вокруг священной горы Меру; они считали, что Земля остается неподвижной, а Солнце, Луна и другие планеты вращаются вокруг нее. На протяжении многих столетий, начиная уже с ведийской эпохи (II тыс. до н.э.), жрецы-брахманы оберегали незыблемость мифа о пахтании океана и демоне Раху.
Концепция Ариабаты о вращении Земли вокруг своей оси настолько противоречила традиционным взглядам, была столь смелой в условиях возрастающего влияния религиозных идей индуизма, что даже астроном Лалла (VIII в.) – один из его последователей – отказался от нее и поддержал общепринятую брахманскую трактовку, а комментатор «Ариабатии» Парамешвара (конец X IV - начало XV вв.) даже менял текст сочинения Ариабаты, чтобы доказать, что тот никогда не выступал с идеей вращения Земли.
По словам Бируни, Брахмагупта отбрасывал правду и поддерживал ложь, был ослеплен в своей ненависти к Ариабате, упрекая его за отход от концепций, изложенных в священных брахманских «законах» - смрити. Наиболее ранние математические сведения в Индии относятся к эпохе цивилизации Хараппа (середина III тыс. до н.э.). До нас не дошли тексты математического характера, но сохранившиеся надписи пока не расшифрованы. Поэтому об уровне математических знаний в ту эпоху можно судить лишь косвенно, в основном по результатам археологических раскопок.
Древние индийцы считали десятками, о чем свидетельствуют насечки на сохранившемся инструменте для измерения длины. Числа обозначались штрихами-зарубками. Такие за-рубки обнаружены на каменных кольцах, из которых строились колонны, поддерживающие кровлю жилищ. Были обнаружены числа от 1 до 9, которые обозначались с помощью вертикальных или горизонтальных штрихов, причем таких штрихов было столько, сколь-ко единиц в данном числе. Для удобства подсчета числа от 5 до 7 состоят из двух групп, а число 9 из трех групп зарубок, отстоящих друг от друга на небольшом расстоянии.
Некоторые игры, найденные в городах долины Инда, требовали применения игральных костей. До нас дошла самая древняя в мире игральная кость – кубик, значительно больших размеров, чем те, которые применяются сейчас: с каждой стороны у него ямочками обозначены числа – от одного до шести. Широкое распространение имели гири. Исследования показали, что между гирями существовала система весовых отношений, основанная на удвоении для небольших гирь и на умножении на 10 и на 100 для более крупных. Строгое соотношение сохранялось и между длиной, шириной и высотой кирпичей, из которых строились здания. Эти размеры соотносились, как 1:2:4 или как 1:3:9.
Следующие сведения, о математических и космогонических представлениях индийцев, относятся ко II тыс. до н.э. – к ведийскому периоду. В эту эпоху Вселенная считалась раз-деленной на три различные части – Землю, воздушное пространство и небо. Строфы «Ригведы», древнейшей и наиболее значительной из четырех священных книг-вед, дают понять, какое важное значение имеет Солнце – Сурья – для жизни природы.
В ведийский период имелись представления о Солнце, Луне, пяти известных в древности планетах – Марсе, Меркурии, Юпитере, Венере, Сатурне, фазах Луны, «накшатрах» - лунных стоянках. Веды породили большое число комментариев, которые составлялись в течение многих веков. Математические сведения лучше всего представлены в «Шульбасутре», которая дошла до нас в нескольких редакциях и датируется серединой I тыс. до н.э.
В этот период широкое распространение получила десятеричная нумерация; существова-ли специальные названия для достаточно больших степеней десяти. Эти наименования порой образовывались с помощью аддитивного, субтрактивного и мультипликативного принципов, которые позднее стали необходимыми компонентами при создании позици-онной системы счисления. Большой интерес представляют собой действия с иррацио-нальными числами, их складывали и умножали как обычные величины.
В этот период индийцы умели решать полное и неполное квадратное уравнение, находили решения некоторых частных случаев неопределенных уравнений первой и второй степеней. Им были известны также приемы построения прямого угла, квадрата, прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами, построение из них трапеций, преобразования прямоугольника в равновеликий квадрат, построения квадрата, равновеликого сумме или разности двух данных квадратов. Во многих построениях применялась теорема Пифагора.
В конце I тыс. до н.э. и впервые века н.э. шло интенсивное развитие астрономии и математики, которое получило завершение в трактате Ариабаты. «Ариабатия» - сравнительно небольшое сочинение. Оно содержит 118 строф и написано в традици-онной для индийцев манере – нерифмованными стихами. Стихотворная форма изложения способствовала лучшему запоминанию правил. Трактат состоит из четырех частей: дашагитика – система обозначения чисел (10 строф), Ганитапада – математика (33 строфы), Калакрийапада – определение времени (25 строф), Голапада – небесная и земная сферы (50 строф).
Математическая часть трактата, очень разнообразная по структуре, содержит много пло-дотворных идей, подхваченных и развитых последующими учеными, как в самой Индии, так и за ее пределами. Это первое дошедшее до нас специальное математическое сочине-ние индийцев; часть математических правил дошла до нас именно в изложении Ариаба-ты. Математические вопросы содержатся не только в специальной второй части, но нахо-дятся и во всех остальных разделах.
Никаких сведений о том, как были получены правила, никаких доказательств в трактате нет. Изложение предельно лаконично, все правила даются в форме рецептов и советов. Лишь изредка правила содержат намек на вывод. В этом отношении трактат Ариабаты не является исключением среди работ средневековых математиков не только Индии, но и ученых стран Ближнего и Среднего Востока и средневековой Западной Европы, которым свойственна рецептурная форма изложения материала.
«Ариабатия» содержит многочисленные вопросы арифметики, алгебры, геометрии, тео-рии чисел, тригонометрии. В дальнейшем, воспроизводя некоторые его правила, мы будем пользоваться современной математической символикой. Величайшим достижением индийских ученых было создание десятичной позиционной системы счисления, отдельные компоненты которой были и в других культурных ареалах, но только в Индии она нашла свое полное завершение.
Первые правила в этой системе встречаются именно у Ариабаты – это правила из-влечения квадратного и кубичного корней. Примечательно, что прием извлечения корней, которым пользуются сегодня в математике, по существу, не отличается от излагаемого Ариабатой. Некоторые частные особенности его выкладок сохранялись в арабской математике. Начиная с Ариабаты, правила и примеры на арифметическую прогрессию встречаются в большинстве индийских математических сочинений.
Он знал правила для вычисления любого по порядку члена, суммы и числа членов ариф-метической прогрессии. Интересно, что при выводе формулы числа членов ему приходится решать полное квадратное уравнение. В «Ариабатии» приводятся правила суммирования натуральных квадратов и кубов, некоторых других рядов, которые, впрочем, были ранее известны вавилонянам и грекам.
Огромный вклад внес Ариабата в развитие теории чисел и его важного раздела – решение неопределенных уравнений. Первый толчок к разрешению этой проблемы в Индии сооб-щили календарно-астрономические задачи, в которых нужно было определить периоды повторения одинаковых относительных положений небесных светил – Солнца, Луны, планет, с различными периодами обращения, и другие с ними связанные проблемы. Зада-ча сводится к отысканию целых чисел, дающих при делении на данные числа данные ос-татки, т.е. удовлетворяющих неопределенным линейным уравнениям и их системам.
Неопределенными уравнениями занимался греческий математик Диофант (III в.н.э.), ко-торый искал лишь рациональные решения. Начиная с Ариабаты, индийцы искали решение этих уравнений в целых положительных числах, что являлось значительно более сильным требованием. Вряд ли здесь можно говорить о прямом греческом воздействии на индийцев – ученые двух культур пришли к теоретико-числовым задачам, исходя из разных проблем, да и сами методы были различные.
Скорее можно говорить о связях индийцев с математиками древнего Китая, которые так-же пришли к решению неопределенных уравнений из нужд астрономии и задач на остат-ки, и тоже искали целочисленные решения. Интересны тригонометрические проблемы, изложенные в «Ариабатии». В своих исследованиях по тригонометрии индийцы, по-видимому, опирались на труды ранних эллинистических астрономов, у которых была раз-вита тригонометрия хорд.
Однако индийцы заменили хорды синусами, что позволило им ввести различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Они рассматривали линию синуса АВ, линию косинуса ОВ и линию ВД, получившую позднее в Европе название синуса-верзуса. Индийцы делили круг вначале на 360 частей, а затем еще на 60, в итоге круг делился на 21600 частей. Таким образом, за единицу измерения линий синуса, косинуса и синуса-верзуса принималась дуговая минута.
Наиболее ранняя таблица синусов имеется в «Сурье-сиддханте» и в первой части «Ариа-батии» (часть 1, правило 10). Таблица составлена через каждые 3°45′=225′, т.е. через 1/24 часть дуги квадранта. Для составления этой таблицы необходимо знать 5 значений синуса, а именно: синус 18°, синус 30°, синус 36°, синус 45°, синус 60°. Значения этих ве-личин легко получить, используя радиусы правильных многоугольников, имея при этом в виду, что sin a=R sin a.
В конце VIII в. «Ариабатия» была переведена на арабский язык под названием «Зидж ал-Арджабхар»: на этот перевод ссылается, в частности, Бируни. В эти же годы на арабский язык были переведены также два сочинения Брахмагупты (VII в.), в которых нашли свое отражение ряд математических и астрономических идей Ариабаты. Позднее при перево-дах на латынь арабских научных сочинений ряд идей Ариабаты стал достоянием западно-европейских ученых.
Таким образом, научный гений Ариабаты оказал влияние не только на развитие математики и астрономии в Индии, но способствовал развитию отдельных направлений точных наук в эпоху Средневековья в странах Востока и Западной Европы.
ВЫВОДЫ
Пифагор жил в VI- V вв. до н.э. Ариабата же родился в– 476 г. н.э. т.е. на тыся-чу лет позже времени, в котором жил Пифагор. В то же время, знания греческой, вавилонской и египетской школ философии могли попасть в Индию и с войсками Александра Македонского. Ученые относят десятичную систему счисления к III тыс. до н.э. и в это же время нельзя утверждать, что найденные знаки являются именно десятеричной системой счисления.
Считается, что десятеричная система счисления принята только во втором тысячелетии н. э от арабов.. В то время египетская система выставляет свое свидетельство, - Пирамиды, возраст которых определен 10 тысяч лет. Спор философских систем Европы и Азии, не приводит ни к какому результату. До сего времени нет логического построения счетной системы, которой пользовались люди, жившие во III-II тысячелетии до н.э.
Обсуждения Дом который построил Пифагор