Теряем атмосферу

Каждый год из нашей дорогой атмосферы в космос улетучивается около ста тысяч тонн газов. Это больше, чем Земля получает от космической пыли и метеоритов: 40 тысяч тонн. Пока атмосфера пополняется от внутренних ресурсов, но незавидная судьба Марса уже перед глазами, она может постигнуть и Землю. Считается, что на высоте 500 км воздух так разрежен, что в нем практически не происходит столкновений молекул и ничто не мешает улететь молекулам в космос. А гравитация там, якобы, настолько слаба, что не может удерживать атомы водорода и гелия. Согласно расчетам, каждую секунду а космос улетают 3 кг водорода и 50 г гелия. Понятно, что никто эти 3 кг в мешок не складывал и не взвешивал. Проверить эти расчеты пока можно лишь другими расчетами.

На высоте в 500 км земное притяжение ослабевает на 14% и поэтому всё еще достаточно велико, чтобы удерживать тела. Чтобы навсегда покинуть Землю частица должна иметь вторую космическую скорость: 11.2 км/с. Однако, средняя скорость движения молекул воздуха 500 м/с. Ясно, что раз на раз не приходятся, и молекулы строем не ходят. И все же откуда берется скорость, посильная лишь мощным космическим кораблям?

При взрыве мегатонной ядерной бомбы взрывная волна распространяется со скоростью тоже 500 м/с. Если добавить относительные движения молекул, то до второй космической скорости всё равно далеко, как до неба. За счет вращения Земли молекулы на экваторе получают добавку к скорости в 465 м/с. Но и с ней получается на порядок меньше 2-й космической скорости.

В Интернете нетрудно найти формулу зависимости плотности атмосферы p(h) от высоты h над Землей. Согласно ей давление и пропорциональная ей плотность убывают с высотой по экспоненте. На высоте 5 с половиной километров давление падает вдвое, на 11 км еще вдвое и далее ополовинивается за каждые 5.5 км. А потому довольно резво приближаются к нулю, и материал для улетания иссякает.

Я вывел другую формулу для плотности атмосферы. Представим трубочку, идущую от поверхности Земли в космос. Тогда приращение по высоте dx пропорционально объему маленького среза этой трубки, а p(x)dx - массе. Согласно закону всемирного тяготения сила притяжения этого кусочка обратно пропорциональна квадрату расстояния до центра Земли. Т.е. с точностью до постоянного коэффициента сила будет

p(x)dx/(R+x)^2, где R=6357 км - радиус Земли.

Чтобы узнать давление p(h) на высоте h, надо просуммировать эти силы от кусочков выше h, т.е. взять интеграл от h до бесконечности от функции p(x)dx/(R+x)^2. Отсюда производная от p(h) равна -p(h)/(R+h)^2.

Если не учитывать изменение гравитации с высотой, что молча делается в весьма серьезной литературе, то множителя (R+h)^2 нет, и в точности получилась бы классическая экспонента. Но с какой стати считать гравитацию одинаковой при любой высоте?

Так что дифуравнение с учетом изменения гравитации дает решение:

p(h)=exp(K/(h+R)+C)

Для вычисления констант K и C достаточно знать, что при нулевом h должно получиться давление в одну атмосферу, а при h=5.5 км пол-атмосферы. Нетрудно насчитать, что K=5097329, C=-801.845 .

При высоте h=11 км получится давление 0.25030 атмосферы, что практически не отличается от одной четверти, предсказанной классической формулой. Однако, при h=110 км уже имеем 1.193/10^6 против классических 0.95367/10^6, т.е. на 25% больше. При h=220 отличие уже в 2 с половиной раза: 2.247/10^12 против 0.91/10^12. И далее расхождение быстро нарастает.

Напомню, что при нормальном давлении 1 кубометр воздуха содержит 268.5*10^23 молекул. Так что если это число поделить на 10^12, то все равно останутся астрономические количества молекул, а не единичные экземпляры.

При h=330 км будет 6.53/10^18 против классических 0.909/10^18, т.е. в 7 раз больше.

Кроме того, стоит учесть неоднородность состава атмосферы. В верхних слоях преобладает водород, который легче азота в 14 раз, кислорода - в 16 раз. Чтобы обеспечить то же давление на поверхность Земли, чисто водородная атмосфера дожна быть в 14 раз объемнее азотной, а с учетом изменения гравитации и того больше.

Таким образом, по моим расчетам параметры атмосферы в верхних слоях могут оказаться чуть ли не в сто раз больше, чем это принято считать. А значит, есть, так сказать, более весомые причины, чтобы атмосфера покидала родную Землю.

Во всяком случае видно, что ходовые упрощения могут сильно искажать наши представления об атмосфере, и здесь явно есть что еще исследовать.