Уровень культуры в обществе складывается из многих признаков, как из рекордных достижений, так и из средней образованности населения, хотя все они в той или иной мере обусловлены.
Всю жизнь я собирал интересные задачи. Существует множество книг с оригинальными задачами на разные темы.
Всю жизнь я собирал интересные задачи. Существует множество книг с оригинальными задачами на разные темы.
Здесь представлено несколько из них, от совсем простых до весьма капитальных, но оригинальных. Конечно, выбор субъективен, но на мой взгляд он в некоторой степени отражает уровень всей земной культуры и сообразительность такого существа, как человек.
1. Разрезать тупоугольный треугольник на остроугольные.
2. Расстояние между двумя деревнями 3 км. В первой 100 школьников, во второй 50. На каком расстоянии от первой деревни построить школу, чтобы общее расстояние, которое придется пройти всем 150 школьникам было наименьшим?
3. В советское время были купюры по 1, 3, 5, 25 рублей. Можно ли разменять одну купюру в 25 руб. на купюры в 1, 3 и 5 рублей так, чтобы получилось ровно 10 купюр?
4. Две одинаковые бочки поровну наполнены одна водой, другая - спиртом. Ковшом перелили литр воды из первой бочки во вторую. Затем, перемешав содержимое второй бочки, литр смеси перелили обратно в первую. Спрашивается, чего больше содержание: спирта в первой бочке (где раньше была только вода), или воды во второй бочке (где раньше был только спирт)?
5. Можно ли на шахматную доску требуется уложить 31 кость домино (каждая кость занимает ровно две клетки доски) так, чтобы остались свободными только две угловые клетки доски на противоположных концах диагонали?
6. У трех путников две лошади. На лошади можно ехать только по одному. Как всем троим вместе быстрее всего оказаться у цели?
7. Изменится ли уровень воды в ведре после того, как растает плавающий в нем лед?
8. Искусственный спутник делает за сутки 10 оборотов вокруг Земли, а надо 12. Затормозить или разогнаться?
9. Докажите, что при делении с остатком любого простого числа на 30 в остатке также получится простое число.
10. Деревенскому парикмахеру приказали брить всех тех, кто не бреется сам. Спрашивается, должен ли он брить сам себя?
11. В центре круглого озерка находится собака, а по берегу бегает ее хозяин, который хочет поймать свою собаку, причем его скорость в 4 раза больше, чем плавает собака. Зато на суше собака бегает быстрее. Сможет ли хозяин поймать собаку? А при скорости в 5 раз больше сможет?
12. Доказать, что корень из двух является иррациональным числом, т.е. не может быть представлен в виде отношения двух целых чисел.
13. Доказать, что существует натуральное число N, для которого 0 < Sin N < 0.000 000 001. Доказать, что существует бесконечно много таких чисел.
14. Заблудившийся в лесу грибник знает, однако, что отошел от просеки ровно на 1 км. Какова оптимальная стратегия выхода к просеке?
15. Учитель софистики Протагор и его ученик Эватл заключили соглашение, согласно которому ученик уплатит своему учителю вознаграждение после первой выигранной тяжбы. Однако, пройдя курс обучения, неблагодарный ученик не торопился приступить к деятельности и соответственно рассчитаться с учителем. Формально он не нарушил условий договора. Но Протагору это не понравилось и он подал на ученика в суд, затребовав оплату своего учительского труда. Сейчас бы сказали, что Протагор поступил по понятиям. Оба соперника, поднаторев в софистике, считали свою позицию беспроигрышной. Эватл не собирался платить даже в том случае, если проиграет процесс, поскольку согласно уговору за проигранный он и не обязывался платить учителю. А Протагор намеревался содрать деньги даже в том случае, если победит Эватл, поскольку последний вследствие выигранной тяжбы обязан будет заплатить согласно уговору. Кто же из них прав, и каково было решение суда?
16. 11 шашек можно разместить на плоскости в 16 рядов по 3 шашки в каждом ряду. Разместите их хотя бы в 15 или 14 рядов.
17. Среди 13 внешне одинаковых монет есть одна фальшивая, имеющая другой вес, причем неизвестно, больший или меньший. Найти фальшивую монету тремя взвешиваниями на весах без гирь.
А из скольких монет можно найти фальшивую четырьмя взвешиваниями?
18. Расставить на шахматной доске 8 ферзей так, чтобы ни один не бил другого (всего есть 92 решения). То же для 14 слонов (256 решений). То же для 32 коней (есть только 2 решения).
19. Стрелок на карусели стреляет в сторону центра карусели. При какой скорости карусели он сможет попасть в себя?
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1. Сначала надо отрезать острые углы, а оставшийся пятиугольник разрезать на 5 треугольников. Всего получится 7 частей.
2. Школу надо построить в первой деревне. Тогда общие затраты: 150 человеко-километров. При любом другом расстоянии
0 < R < 3 затраты: 100*R + 50*(3-R) = 50*R + 150 > 150.
3. Нельзя, так как при сложении десяти нечетных чисел получится четное число, а 25 - нечетно.
4. Одинаково. Можно делать сколько угодно переливаний. Если в итоге уровни жидкости в бочках совпадают, то сколько из одной перешло спирта, ровно столько же вернулось в нее воды.
5. Нельзя. Каждая кость закрывает одну черную клетку и одну белую. Все вместе они займут 31 черную и 31 белую, оставив свободными на доске одну черную и одну белую, которые никак не могут быть на концах одной диагонали, состоящей полностью из клеток одного цвета.
6. Сначала двое должны поехать на лошадях, а один пешком. Не доезжая до цели, один из конных должен продолжить путь пешком, а другой вернуться с двумя лошадьми за отставшим с таким расчетом, чтобы всем троим оказаться у цели одновременно.
Обозначим: A - исходная точка, B - положение отставшего в момент спешивания конного, C - встреча отставшего с вернувшимся конным, D - спешивание конного.
Пусть путь единичной длины, скорость пешехода единична, а скорость лошади вдвое больше. Пусть BC=x, тогда CD=2x. Из соотношения AD/AB=2 получим AB=BD=3x. Ввиду симметрии точек C и D относительно середины всего пути имеем AC=1-AD, откуда нетрудно получить: x=1/10, CD=1/5, AD=3/5. Так что при расстоянии в 10 км двум конным до спешивания одного из них надо проехать 6 км.
Если скорость лошади в K раз больше скорости пешехода, то CD=K*x, AD/AB=K, AB=BD/(K-1)=(K+1)/(K-1)*x, x=1/K/(K+3), CD=1/(K+3), AD=(K+1)/(K-1)/(K+3).
7. Уровень воды не изменится. Представим плавающий лед запакованным в растяжимый пузырь. Согласно закону Архимеду на него будет действовать выталкивающая сила, равная весу вытесненной жидкости, а поскольку лед плавает, то и равная весу льда. После таяния вес содержимого в пузыре не изменился, и пузырь по-прежнему плавает. Значит, не изменилась выталкивающая сила, а с ней согласно Архимеду и объем вытесненной пузырем воды.
Таким образом, уровень воды в ведре и соответственно объем воды, вытесненной любым плавающим телом, совершенно не зависит от превращений этого тела, лишь бы оно не пошло ко дну и не выпорхнуло из ведра. Потому что при всех таких превращениях остаются неизменными: вес плавающего тела, выталкивающая сила, а значит, и объем вытесненной жидкости.
8. Затормозить. Правда, если исходная орбита была круговая, то получится эллиптическая с наибольшим удалением от Земли в точке торможения. Чтобы снова получить круговую орбиту, надо еще раз затормозить, на этот раз в точке наименьшего удаления от Земли.
Центробежная сила равна m*v*v/R, где m - масса спутника, v - скорость, R - радиус. Сила притяжения пропорциональна m/R/R. Значит, скорость обратно пропорциональна квадратному корню из R, т.е. будет больше при меньшем радиусе. А раз больше скорость, да еще короче путь, то оборотов получится больше.
Как это ни парадоксально, для получения большей скорости спутнику надо не разгоняться, а тормозить, так как разгон затем обеспечит притяжение Земли.
9. Пусть при делении на 30 простого числа p получился остаток q.
Тогда p = 30*n + q , где n - целое. Если бы q делилось на 2, 3 или 5, то делилась бы правая часть, а значит, и q. А других простых сомножителей в q не может быть, поскольку q < 30.
Например, если бы 7*k = q , то k < 5.
10. Требование к парикмахеру противоречиво и не может быть выполнено. Этот парадокс открыт в 1901г. Бертраном Расселом и решения не имеет.
11. Считается очевидным, что в круге радиуса 1/4 с тем же центром собака может занять любое положение относительно хозяина, куда бы тот ни бегал. Ссылаясь на механику, можно пояснить, что в этом круге угловая скорость собаки больше, чем у хозяина. Таким образом, собака может занять место на расстоянии 1/4 от центра озера в противоположную сторону от хозяина. Далее ей надо, не оглядываясь, плыть прямо к берегу. Путь хозяина к точке прибытия собаки больше 3 единиц, т.е. в 4 с лишним раза длиннее пути собаки, равного 3/4. Значит, 4-кратного превосходства в скорости хозяину не хватит, и он останется с носом.
Собака сможет убежать даже при большем превосходстве хозяина в скорости, например, в 4 с половиной раза. Однако для этого от точки на окружности радиуса 1/4.5 ей придется плыть не прямо к берегу, а в перпендикулярном направлении (которое тоже ведет к берегу, но в другой точке). Причем влево или вправо - ей надо будет выбрать в зависимости от того, куда дернется хозяин. Далее хозяину уже нет смысла менять направление, поскольку из-за меньшей угловой скорости собаки он и так находится с ней в одной половине озера. Если же он по глупости побежит в обратную сторону, то собаке легче, но ей, конечно, надо симметричным образом тоже сменить направление.
Критическое значение: 4.60334. Так что при скорости в 5 раз большей хозяин вернет собственность (если она вообще вздумает выбраться на берег).
12. Допустим противное, что корень из двух равен отношению целых чисел: N/M. Тогда 2*M*M=N*N и, значит, сомножитель 2 присутствует в левой части в нечетной степени, а в правой - в четной.
13. Здесь предполагается использовать тот факт, что число Pi иррационально. Значит, отмечая на окружности углы в 1, 2 и т.д. радиан, мы никогда не попадем ни в одну из отмеченных ранее точек. Тогда минимальное расстояние между отмечаемыми точками будет постепенно уменьшаться станет меньше любого наперед заданного положительного числа, в частности, для 0.000 000 001. Пусть это произошло для углов в K и L радиан (K < L).
Тогда можно взять N = L - K.
Далее вместо 0.000 000 001 можно взять Sin N и аналогично мы получим еще одно натуральное число с нужным свойством. И так сколько угодно раз.
14. Неплоха стратегия, если грибник пройдет 1 км по любой прямой, затем 3/4 окружности с центром в исходной точке и радиусом 1 км, потом еще 1 км по касательной.
Более точный математический расчет дает следующую стратегию. Сначала грибник должен в любом направлении пройти по прямой 1.15 км (точнее, два поделить на корень из трех). Это уже больше 1 км. Так что если он напоролся на просеку, то, конечно, цель достигнута. А если не напоролся, то ему надо развернуться на 120 градусов (т.е. почти назад) и снова по прямой пройти 0.58 км (точнее, единица на корень из трех). Третьим этапом ему надо двигаться по окружности радиуса 1 км вокруг исходной точки и преодолеть 210 градусов этой окружности. Четвертым этапом - прямиком по касательной еще 1 км. Тогда 6.397 км пути гарантированно выведут к просеке. Это почти на 1 км короче, чем если сначала идти 1 км по прямой, а потом по окружности.
15. По преданию судья решил спор в пользу Эватла, но тут же порекомендовал Протагору подать новый аналогичный иск, где все аргументы были бы на стороне Протагора, поскольку Эватл, выигравший первую тяжбу, теперь обязан платить согласно уговору.
В книге "Логика" А.А.Ивина сказано следующее. Судебный случай с Протагором привел к массе исследований парадокса на протяжении тысячелетий, начиная с трактата самого Протагора. Г.Лейбниц, сам юрист по образованию, также отнесся к этому спору всерьез. В своей докторской диссертации "Исследование о запутанных казусах в праве" он пытался доказать, что все случаи, даже самые запутанные, подобно тяжбе Протагора и Эватла, должны находить правильное разрешение на основе здравого смысла. По мысли Лейбница, суд должен отказать Протагору за несвоевременность предъявления иска...
Другие мыслители ссылались, в частности, на то, что решение суда должно иметь большую силу, чем частная договоренность двух лиц. На это можно ответить, что не будь этой договоренности, какой бы незначительной она ни казалась, не было бы ни суда, ни его решения. Ведь суд должен вынести свое решение по ее поводу и на ее основе.
Обращались также к общему принципу, что всякий труд, а значит, и труд Протагора, должен быть оплачен. Но Протагор, гарантируя высокий уровень обучения, сам отказывался принимать оплату в случае неудачи своего ученика в первом процессе.
Еще Лейбниц предлагает задним числом заменить формулировку договора и оговорить, что первым с участием Эватла судебным процессом, исход которого решит вопрос об оплате, не должен быть суд по иску Протагора.
Однако, ни здравый смысл, ни какие-то общие принципы, касающиеся социальных отношений, не способны разрешить спор. Договор, несмотря на его невинный внешний вид, внутренне противоречив. Он требует реализации логически невозможного положения: Эватл должен одновременно и уплатить за обучение, и вместе с тем не платить.
Итак, заключение А.А.Ивина таково, что парадокс не может иметь решения, поскольку договор Протагора с Эватлом противоречив.
16. Размещение в 15 рядов: (0,0), (-2,2), (0,2), (2,2), (-2,-2), (0,-2), (2,-2), (-1,0), (1,0), (2,2/3), (-2,-2/3).
Размещение в 16 рядов: (-1,0), (0,0), (1,0), (-1,2), (1,2), (0,1), (-1,a-1), (1,a-1), (0,(1+a)/2), (-1/a,2/a), (1/a,2/a), где a*a=5.
Всего разных решений для 16 рядов: 13.
17. При первом взвешивании надо положить на чаши по 4 монеты. Если весы в равновесии, то фальшивая - среди оставшихся пяти. В этом случае при втором взвешивании на одну чашу надо положить три из этих пяти, а на другую - три из тех восьми настоящих. В случае равенства из оставшихся двух легко найти фальшивую, положив на одну чашу одну из этих двух, а на другую - настоящую. А в случае неравенства выясняется, в какую сторону отличается вес фальшивой монеты, и с этой важной информацией из трех оставшихся кандидатов надо положить на чаши по одному.
Если при первом взвешивании весы отклонились, то теперь из одной чаши надо взять три монеты, из другой две и для второго взвешивания все это положить на одну чашу, а пять настоящих - на другую. В случае равенства остается три кандидата на фальшивую: м1, бывший на первой чаше при втором взвешивании, и м2,м3, бывшие на второй чаше. При третьем заходе надо положить на чаши м2 и м3. При равенстве фальшивая м1. При неравенстве, благодаря результату второго взвешивания, выясняется, в какую сторону отличается вес фальшивой монеты. Это при третьем взвешивании указывает на фальшивую из м2, м3.
Аналогичная задача для четырех взвешиваний разрешима для 35 монет. На чаши надо положить по 11 монет. При равенстве задача сводится к предыдущей. При неравенстве из одной чаши надо взять 7 монет, из другой 6 и для второго взвешивания все это положить на одну чашу, а 13 настоящих - на другую. Теперь при неравенстве выяснится, в какую сторону отличается вес фальшивки, а этого достаточно для ее нахождения даже среди 9 монет двумя взвешиваниями. При равенстве остается 9 кандидатов, из которых 4 ранее побывали в одной чаше и 5 в другой. Тогда из 4 надо взять 3 и из 5 тоже 3, положить все 6 на одну чашу, а 6 настоящих на другую.
Если бы помимо заданных было бы еще 4 настоящих, то фальшивую можно было бы выявить даже среди 39 монет. Так что в следующей задаче для пяти взвешиваний можно разобраться с 105 монетами. При первом взвешивании надо положить по 33 монеты, при неравенстве взять 20 из одной чаши и 19 из другой, и все это для второго взвешивания положить на одну чашу, и 39 настоящих на другую.
Если в задаче для пяти взвешиваний были бы еще дополнительные настоящие монеты, то она решалась бы для 119 монет. Так что в следующей задаче для 6 взвешиваний пройдет 319 монет. При первом взвешивании надо положить по 100 монет, при неравенстве взять 60 из одной чаши и 59 из другой, и все это для второго взвешивания положить на одну чашу, и 119 настоящих на другую.
При достаточном количестве дополнительных монет в задаче с n взвешиваниями можно найти фальшивую среди количества монет
Kn = 2*(1+3+9+27+...+3^(n-2))+K(n-1)=3^(n-1)-1+K(n-1) = (3^n+5)/2-n (n>1), K1=2.
При отсутствии дополнительных монет:
Ln = 2*(1+3+9+...+3^(n-3)+K(n-1))+1 = 3^(n-2)+2*K(n-1) (n>1)
= 3^(n-2)+3^(n-1)+5-2n+2 = 4*3^(n-2)-2n+7 (n>2), L2=4, L1=1.
-------------------------------------------
4*3^(n-2)-2n+7 (n>2)
-------------------------------------------
18. Ферзи: a1, b3, c5, d7, e2, f4, g6, h8.
Слоны: a1, b1, c1, d1, e1, f1, g1, h1, b8, c8, d8, e8, f8, g8.
Кони: на всех черных клетках, либо на всех белых.
19. Стреляя в центр, при любой скорости карусели стрелок не сможет попасть в себя.
На первый взгляд кажется, что при достаточно большой скорости карусели всегда можно обогнать пулю и подставиться под нее. На самом деле при увеличении скорости карусели возрастает и скорость пули, которая складывается из вектора скорости пули (это один катет) относительно пистолета и вектора линейной скорости стрелка (это другой катет) и, значит, суммарная скорость (длина гипотенузы) заведомо больше линейной скорости стрелка.
Относительно неподвижной местности пуля пойдет, конечно, не к центру карусели, а по хорде окружности, т.е. по кратчайшему пути к точке пересечений траекторий пули и стрелка. Стрелок движется по более длинному пути да еще с меньшей скоростью, так что придет к цели позже.
Чтобы все-таки попасть в себя, стрелку надо целиться не в центр карусели, а несколько назад относительно своего движения. В таком случае для любой точки на окружности, кроме исходной (и диаметрально противоположной, если в центре карусели препятствие не пробиваемо для пули), нетрудно подобрать соотношение скоростей и направление выстрела так, чтобы стрелок попал в себя именно в заданной точке. Причем можно сделать даже так, что стрелок сделал бы несколько полных оборотов на карусели, прежде чем встретиться с пулей.
Н.В.Невесенко
1. Разрезать тупоугольный треугольник на остроугольные.
2. Расстояние между двумя деревнями 3 км. В первой 100 школьников, во второй 50. На каком расстоянии от первой деревни построить школу, чтобы общее расстояние, которое придется пройти всем 150 школьникам было наименьшим?
3. В советское время были купюры по 1, 3, 5, 25 рублей. Можно ли разменять одну купюру в 25 руб. на купюры в 1, 3 и 5 рублей так, чтобы получилось ровно 10 купюр?
4. Две одинаковые бочки поровну наполнены одна водой, другая - спиртом. Ковшом перелили литр воды из первой бочки во вторую. Затем, перемешав содержимое второй бочки, литр смеси перелили обратно в первую. Спрашивается, чего больше содержание: спирта в первой бочке (где раньше была только вода), или воды во второй бочке (где раньше был только спирт)?
5. Можно ли на шахматную доску требуется уложить 31 кость домино (каждая кость занимает ровно две клетки доски) так, чтобы остались свободными только две угловые клетки доски на противоположных концах диагонали?
6. У трех путников две лошади. На лошади можно ехать только по одному. Как всем троим вместе быстрее всего оказаться у цели?
7. Изменится ли уровень воды в ведре после того, как растает плавающий в нем лед?
8. Искусственный спутник делает за сутки 10 оборотов вокруг Земли, а надо 12. Затормозить или разогнаться?
9. Докажите, что при делении с остатком любого простого числа на 30 в остатке также получится простое число.
10. Деревенскому парикмахеру приказали брить всех тех, кто не бреется сам. Спрашивается, должен ли он брить сам себя?
11. В центре круглого озерка находится собака, а по берегу бегает ее хозяин, который хочет поймать свою собаку, причем его скорость в 4 раза больше, чем плавает собака. Зато на суше собака бегает быстрее. Сможет ли хозяин поймать собаку? А при скорости в 5 раз больше сможет?
12. Доказать, что корень из двух является иррациональным числом, т.е. не может быть представлен в виде отношения двух целых чисел.
13. Доказать, что существует натуральное число N, для которого 0 < Sin N < 0.000 000 001. Доказать, что существует бесконечно много таких чисел.
14. Заблудившийся в лесу грибник знает, однако, что отошел от просеки ровно на 1 км. Какова оптимальная стратегия выхода к просеке?
15. Учитель софистики Протагор и его ученик Эватл заключили соглашение, согласно которому ученик уплатит своему учителю вознаграждение после первой выигранной тяжбы. Однако, пройдя курс обучения, неблагодарный ученик не торопился приступить к деятельности и соответственно рассчитаться с учителем. Формально он не нарушил условий договора. Но Протагору это не понравилось и он подал на ученика в суд, затребовав оплату своего учительского труда. Сейчас бы сказали, что Протагор поступил по понятиям. Оба соперника, поднаторев в софистике, считали свою позицию беспроигрышной. Эватл не собирался платить даже в том случае, если проиграет процесс, поскольку согласно уговору за проигранный он и не обязывался платить учителю. А Протагор намеревался содрать деньги даже в том случае, если победит Эватл, поскольку последний вследствие выигранной тяжбы обязан будет заплатить согласно уговору. Кто же из них прав, и каково было решение суда?
16. 11 шашек можно разместить на плоскости в 16 рядов по 3 шашки в каждом ряду. Разместите их хотя бы в 15 или 14 рядов.
17. Среди 13 внешне одинаковых монет есть одна фальшивая, имеющая другой вес, причем неизвестно, больший или меньший. Найти фальшивую монету тремя взвешиваниями на весах без гирь.
А из скольких монет можно найти фальшивую четырьмя взвешиваниями?
18. Расставить на шахматной доске 8 ферзей так, чтобы ни один не бил другого (всего есть 92 решения). То же для 14 слонов (256 решений). То же для 32 коней (есть только 2 решения).
19. Стрелок на карусели стреляет в сторону центра карусели. При какой скорости карусели он сможет попасть в себя?
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1. Сначала надо отрезать острые углы, а оставшийся пятиугольник разрезать на 5 треугольников. Всего получится 7 частей.
2. Школу надо построить в первой деревне. Тогда общие затраты: 150 человеко-километров. При любом другом расстоянии
0 < R < 3 затраты: 100*R + 50*(3-R) = 50*R + 150 > 150.
3. Нельзя, так как при сложении десяти нечетных чисел получится четное число, а 25 - нечетно.
4. Одинаково. Можно делать сколько угодно переливаний. Если в итоге уровни жидкости в бочках совпадают, то сколько из одной перешло спирта, ровно столько же вернулось в нее воды.
5. Нельзя. Каждая кость закрывает одну черную клетку и одну белую. Все вместе они займут 31 черную и 31 белую, оставив свободными на доске одну черную и одну белую, которые никак не могут быть на концах одной диагонали, состоящей полностью из клеток одного цвета.
6. Сначала двое должны поехать на лошадях, а один пешком. Не доезжая до цели, один из конных должен продолжить путь пешком, а другой вернуться с двумя лошадьми за отставшим с таким расчетом, чтобы всем троим оказаться у цели одновременно.
Обозначим: A - исходная точка, B - положение отставшего в момент спешивания конного, C - встреча отставшего с вернувшимся конным, D - спешивание конного.
Пусть путь единичной длины, скорость пешехода единична, а скорость лошади вдвое больше. Пусть BC=x, тогда CD=2x. Из соотношения AD/AB=2 получим AB=BD=3x. Ввиду симметрии точек C и D относительно середины всего пути имеем AC=1-AD, откуда нетрудно получить: x=1/10, CD=1/5, AD=3/5. Так что при расстоянии в 10 км двум конным до спешивания одного из них надо проехать 6 км.
Если скорость лошади в K раз больше скорости пешехода, то CD=K*x, AD/AB=K, AB=BD/(K-1)=(K+1)/(K-1)*x, x=1/K/(K+3), CD=1/(K+3), AD=(K+1)/(K-1)/(K+3).
7. Уровень воды не изменится. Представим плавающий лед запакованным в растяжимый пузырь. Согласно закону Архимеду на него будет действовать выталкивающая сила, равная весу вытесненной жидкости, а поскольку лед плавает, то и равная весу льда. После таяния вес содержимого в пузыре не изменился, и пузырь по-прежнему плавает. Значит, не изменилась выталкивающая сила, а с ней согласно Архимеду и объем вытесненной пузырем воды.
Таким образом, уровень воды в ведре и соответственно объем воды, вытесненной любым плавающим телом, совершенно не зависит от превращений этого тела, лишь бы оно не пошло ко дну и не выпорхнуло из ведра. Потому что при всех таких превращениях остаются неизменными: вес плавающего тела, выталкивающая сила, а значит, и объем вытесненной жидкости.
8. Затормозить. Правда, если исходная орбита была круговая, то получится эллиптическая с наибольшим удалением от Земли в точке торможения. Чтобы снова получить круговую орбиту, надо еще раз затормозить, на этот раз в точке наименьшего удаления от Земли.
Центробежная сила равна m*v*v/R, где m - масса спутника, v - скорость, R - радиус. Сила притяжения пропорциональна m/R/R. Значит, скорость обратно пропорциональна квадратному корню из R, т.е. будет больше при меньшем радиусе. А раз больше скорость, да еще короче путь, то оборотов получится больше.
Как это ни парадоксально, для получения большей скорости спутнику надо не разгоняться, а тормозить, так как разгон затем обеспечит притяжение Земли.
9. Пусть при делении на 30 простого числа p получился остаток q.
Тогда p = 30*n + q , где n - целое. Если бы q делилось на 2, 3 или 5, то делилась бы правая часть, а значит, и q. А других простых сомножителей в q не может быть, поскольку q < 30.
Например, если бы 7*k = q , то k < 5.
10. Требование к парикмахеру противоречиво и не может быть выполнено. Этот парадокс открыт в 1901г. Бертраном Расселом и решения не имеет.
11. Считается очевидным, что в круге радиуса 1/4 с тем же центром собака может занять любое положение относительно хозяина, куда бы тот ни бегал. Ссылаясь на механику, можно пояснить, что в этом круге угловая скорость собаки больше, чем у хозяина. Таким образом, собака может занять место на расстоянии 1/4 от центра озера в противоположную сторону от хозяина. Далее ей надо, не оглядываясь, плыть прямо к берегу. Путь хозяина к точке прибытия собаки больше 3 единиц, т.е. в 4 с лишним раза длиннее пути собаки, равного 3/4. Значит, 4-кратного превосходства в скорости хозяину не хватит, и он останется с носом.
Собака сможет убежать даже при большем превосходстве хозяина в скорости, например, в 4 с половиной раза. Однако для этого от точки на окружности радиуса 1/4.5 ей придется плыть не прямо к берегу, а в перпендикулярном направлении (которое тоже ведет к берегу, но в другой точке). Причем влево или вправо - ей надо будет выбрать в зависимости от того, куда дернется хозяин. Далее хозяину уже нет смысла менять направление, поскольку из-за меньшей угловой скорости собаки он и так находится с ней в одной половине озера. Если же он по глупости побежит в обратную сторону, то собаке легче, но ей, конечно, надо симметричным образом тоже сменить направление.
Критическое значение: 4.60334. Так что при скорости в 5 раз большей хозяин вернет собственность (если она вообще вздумает выбраться на берег).
12. Допустим противное, что корень из двух равен отношению целых чисел: N/M. Тогда 2*M*M=N*N и, значит, сомножитель 2 присутствует в левой части в нечетной степени, а в правой - в четной.
13. Здесь предполагается использовать тот факт, что число Pi иррационально. Значит, отмечая на окружности углы в 1, 2 и т.д. радиан, мы никогда не попадем ни в одну из отмеченных ранее точек. Тогда минимальное расстояние между отмечаемыми точками будет постепенно уменьшаться станет меньше любого наперед заданного положительного числа, в частности, для 0.000 000 001. Пусть это произошло для углов в K и L радиан (K < L).
Тогда можно взять N = L - K.
Далее вместо 0.000 000 001 можно взять Sin N и аналогично мы получим еще одно натуральное число с нужным свойством. И так сколько угодно раз.
14. Неплоха стратегия, если грибник пройдет 1 км по любой прямой, затем 3/4 окружности с центром в исходной точке и радиусом 1 км, потом еще 1 км по касательной.
Более точный математический расчет дает следующую стратегию. Сначала грибник должен в любом направлении пройти по прямой 1.15 км (точнее, два поделить на корень из трех). Это уже больше 1 км. Так что если он напоролся на просеку, то, конечно, цель достигнута. А если не напоролся, то ему надо развернуться на 120 градусов (т.е. почти назад) и снова по прямой пройти 0.58 км (точнее, единица на корень из трех). Третьим этапом ему надо двигаться по окружности радиуса 1 км вокруг исходной точки и преодолеть 210 градусов этой окружности. Четвертым этапом - прямиком по касательной еще 1 км. Тогда 6.397 км пути гарантированно выведут к просеке. Это почти на 1 км короче, чем если сначала идти 1 км по прямой, а потом по окружности.
15. По преданию судья решил спор в пользу Эватла, но тут же порекомендовал Протагору подать новый аналогичный иск, где все аргументы были бы на стороне Протагора, поскольку Эватл, выигравший первую тяжбу, теперь обязан платить согласно уговору.
В книге "Логика" А.А.Ивина сказано следующее. Судебный случай с Протагором привел к массе исследований парадокса на протяжении тысячелетий, начиная с трактата самого Протагора. Г.Лейбниц, сам юрист по образованию, также отнесся к этому спору всерьез. В своей докторской диссертации "Исследование о запутанных казусах в праве" он пытался доказать, что все случаи, даже самые запутанные, подобно тяжбе Протагора и Эватла, должны находить правильное разрешение на основе здравого смысла. По мысли Лейбница, суд должен отказать Протагору за несвоевременность предъявления иска...
Другие мыслители ссылались, в частности, на то, что решение суда должно иметь большую силу, чем частная договоренность двух лиц. На это можно ответить, что не будь этой договоренности, какой бы незначительной она ни казалась, не было бы ни суда, ни его решения. Ведь суд должен вынести свое решение по ее поводу и на ее основе.
Обращались также к общему принципу, что всякий труд, а значит, и труд Протагора, должен быть оплачен. Но Протагор, гарантируя высокий уровень обучения, сам отказывался принимать оплату в случае неудачи своего ученика в первом процессе.
Еще Лейбниц предлагает задним числом заменить формулировку договора и оговорить, что первым с участием Эватла судебным процессом, исход которого решит вопрос об оплате, не должен быть суд по иску Протагора.
Однако, ни здравый смысл, ни какие-то общие принципы, касающиеся социальных отношений, не способны разрешить спор. Договор, несмотря на его невинный внешний вид, внутренне противоречив. Он требует реализации логически невозможного положения: Эватл должен одновременно и уплатить за обучение, и вместе с тем не платить.
Итак, заключение А.А.Ивина таково, что парадокс не может иметь решения, поскольку договор Протагора с Эватлом противоречив.
16. Размещение в 15 рядов: (0,0), (-2,2), (0,2), (2,2), (-2,-2), (0,-2), (2,-2), (-1,0), (1,0), (2,2/3), (-2,-2/3).
Размещение в 16 рядов: (-1,0), (0,0), (1,0), (-1,2), (1,2), (0,1), (-1,a-1), (1,a-1), (0,(1+a)/2), (-1/a,2/a), (1/a,2/a), где a*a=5.
Всего разных решений для 16 рядов: 13.
17. При первом взвешивании надо положить на чаши по 4 монеты. Если весы в равновесии, то фальшивая - среди оставшихся пяти. В этом случае при втором взвешивании на одну чашу надо положить три из этих пяти, а на другую - три из тех восьми настоящих. В случае равенства из оставшихся двух легко найти фальшивую, положив на одну чашу одну из этих двух, а на другую - настоящую. А в случае неравенства выясняется, в какую сторону отличается вес фальшивой монеты, и с этой важной информацией из трех оставшихся кандидатов надо положить на чаши по одному.
Если при первом взвешивании весы отклонились, то теперь из одной чаши надо взять три монеты, из другой две и для второго взвешивания все это положить на одну чашу, а пять настоящих - на другую. В случае равенства остается три кандидата на фальшивую: м1, бывший на первой чаше при втором взвешивании, и м2,м3, бывшие на второй чаше. При третьем заходе надо положить на чаши м2 и м3. При равенстве фальшивая м1. При неравенстве, благодаря результату второго взвешивания, выясняется, в какую сторону отличается вес фальшивой монеты. Это при третьем взвешивании указывает на фальшивую из м2, м3.
Аналогичная задача для четырех взвешиваний разрешима для 35 монет. На чаши надо положить по 11 монет. При равенстве задача сводится к предыдущей. При неравенстве из одной чаши надо взять 7 монет, из другой 6 и для второго взвешивания все это положить на одну чашу, а 13 настоящих - на другую. Теперь при неравенстве выяснится, в какую сторону отличается вес фальшивки, а этого достаточно для ее нахождения даже среди 9 монет двумя взвешиваниями. При равенстве остается 9 кандидатов, из которых 4 ранее побывали в одной чаше и 5 в другой. Тогда из 4 надо взять 3 и из 5 тоже 3, положить все 6 на одну чашу, а 6 настоящих на другую.
Если бы помимо заданных было бы еще 4 настоящих, то фальшивую можно было бы выявить даже среди 39 монет. Так что в следующей задаче для пяти взвешиваний можно разобраться с 105 монетами. При первом взвешивании надо положить по 33 монеты, при неравенстве взять 20 из одной чаши и 19 из другой, и все это для второго взвешивания положить на одну чашу, и 39 настоящих на другую.
Если в задаче для пяти взвешиваний были бы еще дополнительные настоящие монеты, то она решалась бы для 119 монет. Так что в следующей задаче для 6 взвешиваний пройдет 319 монет. При первом взвешивании надо положить по 100 монет, при неравенстве взять 60 из одной чаши и 59 из другой, и все это для второго взвешивания положить на одну чашу, и 119 настоящих на другую.
При достаточном количестве дополнительных монет в задаче с n взвешиваниями можно найти фальшивую среди количества монет
Kn = 2*(1+3+9+27+...+3^(n-2))+K(n-1)=3^(n-1)-1+K(n-1) = (3^n+5)/2-n (n>1), K1=2.
При отсутствии дополнительных монет:
Ln = 2*(1+3+9+...+3^(n-3)+K(n-1))+1 = 3^(n-2)+2*K(n-1) (n>1)
= 3^(n-2)+3^(n-1)+5-2n+2 = 4*3^(n-2)-2n+7 (n>2), L2=4, L1=1.
-------------------------------------------
4*3^(n-2)-2n+7 (n>2)
-------------------------------------------
18. Ферзи: a1, b3, c5, d7, e2, f4, g6, h8.
Слоны: a1, b1, c1, d1, e1, f1, g1, h1, b8, c8, d8, e8, f8, g8.
Кони: на всех черных клетках, либо на всех белых.
19. Стреляя в центр, при любой скорости карусели стрелок не сможет попасть в себя.
На первый взгляд кажется, что при достаточно большой скорости карусели всегда можно обогнать пулю и подставиться под нее. На самом деле при увеличении скорости карусели возрастает и скорость пули, которая складывается из вектора скорости пули (это один катет) относительно пистолета и вектора линейной скорости стрелка (это другой катет) и, значит, суммарная скорость (длина гипотенузы) заведомо больше линейной скорости стрелка.
Относительно неподвижной местности пуля пойдет, конечно, не к центру карусели, а по хорде окружности, т.е. по кратчайшему пути к точке пересечений траекторий пули и стрелка. Стрелок движется по более длинному пути да еще с меньшей скоростью, так что придет к цели позже.
Чтобы все-таки попасть в себя, стрелку надо целиться не в центр карусели, а несколько назад относительно своего движения. В таком случае для любой точки на окружности, кроме исходной (и диаметрально противоположной, если в центре карусели препятствие не пробиваемо для пули), нетрудно подобрать соотношение скоростей и направление выстрела так, чтобы стрелок попал в себя именно в заданной точке. Причем можно сделать даже так, что стрелок сделал бы несколько полных оборотов на карусели, прежде чем встретиться с пулей.
Н.В.Невесенко
Обсуждения На сообразительность